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Il massimo di aumento, 41",0, per 1° azimutale, si verìfica di fronte a 

 nella curva interna. L'angolo di 54°. 10'. 36" per cui l'aumeuto è massimo, 

 può dunque essere utilizzato per il calcolo di un indice medio di rifrazione : 



n = Nsen(54°.10'.36") 

 ossia log n = 0.185479 e n = 1.5327 . 



Matematica. — Sopra un'estensione del teorema di Riesz- 

 Fisher. Nota I del dott. Luigi Amoroso, presentata dal Corrispon- 

 dente Gr. Lauricella. 



Sia data una successione numerabile di infinite funzioni reali di una 

 variabile reale x 



(1) ®y(x) , ®i(x) , ... 4> n {x) , 



finite e continue, normali ortogonali, nell' intervallo (01) 



(2) ) ® m {%) <X>n{x) dx = 0 m =j= n 



= 1 m = n . 



Alle funzioni (1) facciamo corrispondere biunivocamente i numeri di una 



co 



successione a x , a 2 , ... a n , ... Se la serie ^_ a\ converge, allora, secondo il 



teorema di Riesz-Fisher, esiste nell'intervallo (01) una funzione reale f{x) 

 per la quale si ha 



J-i ri oo 



0> m (x) f{x) dx = a m , (f{x))' z dx = ^_a\ n == 1 , 2 , ... 

 0 n=l 



gl'integrali essendo presi nel senso di Lebesgue ( L ). 



Ci proponiamo nella presente Nota di dare una estensione di questo 

 teorema, della quale dovremo fare applicazione in lavori successivi. 



1. Definizioni fondamentali. — Diciamo Sì l' insieme delle funzioni 

 reali, delle variabili reali x , t,f{x , t) integrabili in senso di Lebesgue ri- 



(') Cfr. F. Eiesz, Sur les systèmes orthogonaux de fonctions. Compi Rendus, 1907, 

 pag. 615; Sur les suites de fonctions mesurables. Id. id., 1909, pag. 1303. — E. Fisher, 

 Sur la convergence en moyenne. Id. id., 1907, pag. 1022. — H. Weyl, Ueber die Kon- 

 vergenz von Reihen die nach Orthogonalfunktionen fortschreiten. Mat. Ann. Bd. 66, 1909, 

 Seite 225. — A. Haar, Zur Theorie der orthogonalen Funktionensy 'steme. Mat. Ann. 

 Band. 69, 1910, Seite 331; Band. 71, 1912, Seite 38. — M. Plancherel, Contribution d 

 Vétude de la représentation d'une fonction arbitraire, ecc. Rend. Circolo Mat., Palermo, 

 tomo XXX, 1910, pag. 289. 



