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spetto ad x nell' intervallo (0 1), in modo che gì' integrali (in senso di Le- 

 besgue) 



f(x , t) dx 



sieno funzioni finite e continue di t per tutti i valori di t superiori ad una 

 quantità finita t 0 . 



Data una successione di funzioni di Sì 



(3) f x {x , t) , f t (x , t) , ... f n (x , t) , ... 



diremo che essa è convergente in media rispetto ad x , uniformemente ri- 

 spetto a t, se detti m , h due numeri positivi, l'espressione 



f \fm+h{x , t) — f m {x , Oj 2 dx 



al crescere di m tenda, uniformemente rispetto a t, al limite zero. 



Diremo che la successione stessa converge in media rispetto ad x, 

 uniformemente rispetto a t , verso una funzione f(x , t), se esiste una fun- 

 zione di Sì, per cui l'espressione 



f 



1 



\f(x , l) — f m {x, t)\ 2 dx 



al crescere di m, tenda, uniformemente rispetto a t, a zero. 

 Analogamente, data la successione di funzioni di Sì: 



fy{x , t) , f 2 {X , /) , ... , f m (x , t) , ... 



diremo che essa converge uniformemente rispetto a t ed uniformemente 

 in generale rispetto ad x , se ad ogni numero positivo e << 1 si può far 

 corrispondere, per qualunque valore di t -> t 0 , un insieme r(t) di punti del- 

 l' intervallo (01) di misura 1 — e, in modo che la successione considerata 

 converga uniformente rispetto alle variabili x e t, qualunque sia t^t 0 , 

 qualunque sia x nell'insieme r(t) . 



Sempre nello stesso ordine di idee, diremo che una funzione f(x , t) 

 di Si, è determinata in generale rispetto ad x, se ad ogni numero positivo 

 s <C 1 si può far corrispondere, per qualunque valore di t^t 0 , un insieme 

 di punti dell' intervallo (0 1) di misura 1 — s , nel quale la funzione f(x,t) 

 è univocamente determinata. 



2. Lemma. Se le funzioni (3) nell'intervallo (0 1) convergono in media 

 rispetto ad x , uniformemente rispetto a t , per t _> t 0 esiste una funzione 

 f{x,t) di Sì, verso cui una conveniente successione, estratta dalle (3): 



fa^x , t) , f^{x , t) , ... fpjx , t) , ... 



converge uniformemente rispetto a t ed uniformemente in generale rispetto 

 Rendiconti, 1912, Voi. XXI, 1° Sem. 98 



