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ad x ■ La funzione f(x , t) , così definita, è determinata in generale ri- 

 spetto ad x. 



La dimostrazione di questo lemma si fa estendendo punto per punto 

 la dimostrazione data da Plancherel per il caso in cui manchi la variabile t. 

 Sia s m (t) il limite superiore degli integrali 



f \f m+ h(x, t) — f m (x)\ z dx 



per h == 1 , 2 , ... Per le ipotesi fatte s m (t), al crescere di m, tende, unifor- 

 memente rispetto a t per t >t Q , al limite zero. Possiamo allora estrarre 

 dalla successione e^t) , e t (t) , ... una serie uniformemente convergente per 

 t^t 0 : *(!,(/) -f- %. 2 (0 H — Ciò porta che, detta h , 1% , — una successione 

 di numeri positivi tendenti a zero, e <?i+<J 2 H — una serie convergente a 

 termini positivi, sarà sempre possibile determinare un indice (i k , tale che 



si abbia y s^Jt) < - 4 S h , qualunque sia t>t 0 . Ne segue (ripetendo let- 



n=h & 



teralmente i ragionamenti di Plancherel (loc. cit.) dalla linea 20 della pa- 

 gina 293 ove dice: « cherchons a determinerà... » tino alla linea 12 della 

 pagina 294 e cioè fino alla formula w(A^, ft ) <-A, che non contiene più la 

 variabile i), che esiste nell'intervallo (01) un insieme di punti k h (t) di 

 misura uguale o maggiore di 1 — ó h , per cui si ha : 



\f v .M,t) — f v . q {x,t)\<2l h 



per tutti i valori di p e q superiori ad un certo numero ti, qualunque sia 

 il punte x dell'insieme A^*), qualunque sia t>t 0 . Ma allora, detto B h {t) 

 l'insieme formato da tutti i punti dell'intervallo (01) comuni a tutti gli 

 insiemi A h (t) , k h+1 (t) , A h+Ì (t) , ... , si avrà: 



\f v . v {x , t) — fa{x ,t)\<2l) p,q>f 



per j = h , h -f- 1 , ... , j' avendo rispetto ad; lo stesso significato che ti 

 rispetto ad h. Dunque la serie 



converge uniformemente rispetto ad ambedue le variabili x , t per ogni va- 

 lore di t >. t 0 e per ogni valore di x . corrispondente ad un punto dell' in- 

 sieme B h (t) : ma la misura di B h (t) è uguale almeno a 



1 — (4 + + ...), 



quindi è vicina a 1 tanto quanto si vuole, ecc. (vedi Plancherel, loc. cit., 

 pp. 294, 295). 



