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3. Teorema. — Data nell'intervallo (01) la successione di f unzioni 

 (1): inoltre una successione di funzioni della variabile t , finite e con- 

 tinue per t -> t 0 



(5) ^{t) , P 2 (0 , ... P„(0 , ... 

 tali che la serie 



(6) f(?n(t)y 



converga uniformemente per tutti i valori di t>t 0 , allora esiste una 

 serie di numeri interi positivi crescenti fx^ , jU 2 , •■• tali che posto : 



R m ( x , t ) = 0,{x) P,(0 + d> g (/) + - + <!>„(*) P w (0 



(7) fy.fc , 0 + (IW* , t) — R^» , /)) -1- - 



converge uniformemente rispetto a t, per t^t 0 , uniformemente in gene- 

 rale rispetto ad x, per 0<.cc <.l, verso una funzione ¥(a;,t), per cui 

 si ha: 



(8) f 1 (F(a;,0)»^ = £ [P»(*)] 2 , C Q m {x) F{x , t) dx = ? m (t) 



m = 1 , 2 , .... , t >. t 0 . 



Si ha infatti, detti m , h due numeri interi positivi e ricordando la 

 posizione (7), e le (2) 



TR A — Ti. Al*d-r<= ) S~ . 0>J<r.\PJt\l drr. = 



[R m+h (a; , 0 — R m (» , 0] 2 ^ = Z p W ^ = X p ( W » 



da cui, data la convergenza uniforme della serie (6), segue immediatamente 

 che l'espressione 



(R m+h (x , t) — R m (# , t)) % dx 



al crescere di m tende, uniformemente rispetto a t , per t >. £„ , al limite 

 zero. Ciò prova che le funzioni R^x , , R 2 (x , t) , ... convergono in media 

 rispetto ad x nell'intervallo (0 1), uniformemente rispetto a t per t>-t 0 , 

 nel senso indicato al n. 1 di questa Nota; ed allora, per il lemma prece- 

 dente, è possibile estrarre una successione 



Rjx^a; , t) , Bjt,(ic , t) , ... 



convergente uniformemente rispetto a t per t^t 9 , ed uniformemente in 

 generale rispetto ad x verso una funzione J?(x , t). Si avrà così 



(Mi ^3 



(9) F(* , *) = 7^ «V(aO P^O + J> <*M*) P^) + - 



1 |«1 + 1 



