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per i >t Qi per 0 < x <. 1, esclusi per ogni ^ _> 4 i valori di # corrispon- 

 denti ai punti di un insieme di misura nulla. 



Nella (9) moltiplicando ambo i membri per ® m {%) dx ed integrando 

 da 0 ad 1 si raccoglie: 



(10) )$> m {x)~F{x,t)dx = ? m (t) w — 1,2,... 



Finalmente, sempre dalla (9), moltiplicando ambo i membri per F(.x , t) ed 

 integrando da 0 ad 1 , tenuto conto delle (8), si raccoglie ancora 



\ l \F(xj)\*dx=f_ (P m (0) 2 



- o m=l 



come era stato enunciato. 



Matematica. — Sulla teoria delle equazioni integrali e delle 

 loro generalizzate. Nota I dell' ing. Giovanni Giorgi, presentata 

 dal Corrisp. G. Lauricella. 



1 - — La teoria più generale che noi conosciamo per la trattazione delle 

 equazioni integrali è quella data recentemente dal prof. Volterra nella serie 

 di lavori pubblicata in questi Rendiconti, dal 1909 al 1911. È una teoria 

 che procede con mezzi molto semplici e di portata grandissima, e in fatto 

 include la maggior parte delle altre conosciute, come caso particolare; inoltre, 

 si applica a una categoria di problemi molto più lata, p. es. a equazioni 

 iutegro-differenziali, equazioni integrali non lineari di vari tipi, ed altre 

 equazioni funzionali di carattere molto generale. Essa è tutta fondata sulla 

 considerazione delle funzioni permutabili che nella VII Nota di tale serie ( l ) 

 vengono definite (§ 1, in principio) con queste parole: « Due funzioni finite 

 * e continue Fi(x , y) e F,(cc , y), tali che 



(A) \ V F x {x , j) F*(| , y) dì = [\{x , §) F,(£ ,y)d£, 



v> oc oc 



« si diranno permutabili, e l'operazione precedente si dirà la loro compo- 

 « sùione. Fi(x,y) , F 2 (x , y) si chiameranno componenti e l'integrale otte- 

 « mito resultante »; aggiungendo poi che la funzione resultante si indi- 

 cherà con' 



FxP^.y) o F 2 F 1 (a:,y) 



(') Questioni generali sulle equazioni integrali e integro-differenziali, Rend. Lincei, 

 voi. XIX, serie 5 a , 1° sem., seduta del 20 febbraio 1910. È questo il lavoro classico e 

 fondamentale di tutta la ricerca. La enunciazione più generale e la dimostrazione dei 

 teoremi si trova poi nella XIII Nota: Sopra una proprietà generale delle equazioni 

 integrali e integro-differenziali, ibid., voi. XX, serie 5*, 2° sem., seduta del 6 agosto 1911. 



