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o più semplicemente con F^, o F 2 Fi , quando non possa nascere confusione 

 col prodotto delle due funzioni. 



Lo sviluppo della teoria consiste nel mostrare che questo prodotto sim- 

 bolico si può trattare sotto molti punti di vista come un prodotto ordinario ; 

 donde anche l' ulteriore notazione F 2 (^ , y) per indicare il risultato della 

 composizione di una ¥{w , y) con se stessa; e più in generale la definizione 

 di potenza F M (x , y). Ne segue un'algebra che conduce a scrivere equazioni 

 simboliche tra funzioni permutabili, a risolverle per serie di potenze intere, 

 e poi, traducendo equazione e serie in forma spoglia di simboli, a ricavare 

 insieme un'equazione funzionale e la sua risolvente espressa per mezzo di 

 serie di integrali, illimitatamente convergente. 



55. — Il modo come si presentano e si ricollegano fra loro queste defini- 

 zioni e le varie proposizioni della teoria, lascia intravedere che tutto non 

 derivi solo da un elegante e geniale artificio (la cui origine si troverebbe 

 del resto chiaramente esposta, e con molta generalità, nella XIII Nota citata 

 testé); ma si possa forse anche renderne conto, e darne un filo conduttore 

 riattaccandosi alle teorie generali che si posseggono sulle operazioni funzio- 

 nali lineari. Ciò darebbe da una parte il mezzo di ricavare ex-novo formal- 

 mente (cioè senza le dimostrazioni) le forinole del Volterra, anche per chi 

 non ne ricordasse i passaggi; e dall'altra mostrerebbe come l'intera tratta- 

 zione si traduca anche e si risolva (benché scritta in apparenza sotto altra 

 veste) in un capitolo importantissimo di calcolo operativo funzionale. Sarebbe 

 un capitolo tanto più desiderato, in quanto che in questo ramo di matema- 

 tica si hanno bensì molteplici teorie ed esempì pratici, ma non collegati 

 abbastanza fra loro, e solo lo studio di teorie completamente sviluppate re- 

 lative a casi singoli — come sarebbe quella di cui parliamo — può fornire 

 il collegamento richiesto. 



A prima vista, bisogna però riconoscere che la voluta traduzione non 

 si presenta immediata; perchè la (A) fa pensare a un campo funzionale di 

 funzioni con due variabili indipendenti, che entrambe vengano in giuoco 

 nelle trasformazioni funzionali, con la ulteriore complicazione del loro inter- 

 vento nei limiti delle integrazioni; e per questa via non si perviene a in- 

 terpolare utilmente la (A) e a rendersi conto dell'algoritmo che da essa 

 dipende. Qualche dissimmetria di notazione che ha incontrato il Volterra 

 (p. es. nelle prime righe della pag. 171 della citata Nota VII) si ricolle- 

 gherebbe forse indirettamente a questo punto di vista. Mi propongo qui di 

 esporre un metodo, per mezzo del quale, risalendo qualche passo indietro 

 dalla equazione (A), e ricollegando le F^ìc , y) , F 2 (x , y) a trasformazioni 

 eseguite nel campo delle funzioni a una variabile indipendente, si perviene 

 alla traduzione funzionale in forma abbastanza diretta. 



