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3. — Sia <p{x) un'arbitraria funzione integrabile. Sia ~E(x,y) una fun- 

 zione, che per semplicità supporremo limitata e continua in tutti i punti 

 interni di una regione finita del piano e nulla al di fuori. La forinola. 



r -h» 



(1) tf>(x) = ¥{x, y) <p(y) dy 



definisce un'operazione che trasforma <p{x) in xp(x). Indicando questa ope- 

 zione con F, scriveremo 



(2) ip(x) = Fy(a;) , 



e diremo che F(# , y) è la funzione coefficiente dell'operatore F . 



Per la sua struttura, F è un operatore funzionale distributivo (lineare). 

 È noto ( 2 ) come per siffatti operatori, trattandoli a loro volta come simboli 

 soggetti a calcolo, si stabilisce un algoritmo, nel quale, con convenzioni 

 che si presentano spontaneamente, vengono definiti la somma, il prodotto, 

 e, sotto certe condizioni, anche il quoziente, e in generale il risultato di 

 un'operazione razionale qualunque; salvo poi ad estendere anche ad altre 

 operazioni algebriche, o analitiche trascendenti L'algebra che ne risulta è 

 analoga a quella delle matrici, dei quaternioni, delle diadiche, delle sosti- 

 tuzioni lineari, e di altri simboli analoghi ; cioè è un'algebra che differisce 

 da quella ordinaria principalmente per la mancanza della proprietà com- 

 mutativa della moltiplicazione. 



Ne segue che, data un'equazione funzionale, in cui la funzione inco- 

 gnita (p{x) si trovi assoggettata a operazioni come F, ed eventualmente 

 anche ad altre operazioni distributive (p. es. la derivazione), è permesso 

 trattare i simboli di queste operazioni come se fossero moltiplicatori, ma 

 moltiplicatori soggetti a un'algebra non commutativa. Per questa via è pos- 

 sibile eseguire alcune trasformazioni, riduzioni, e talora anche risoluzioni 

 di equazioni ; ma questi casi di risoluzione sono rari : in generale, l'algebra 

 non commutativa offre difficoltà di ordine molto elevato, anche per la ese- 

 cuzione dei passaggi più elementari. 



Si possono però trovare singoli operatori che soddisfino alla proprietà 

 F 1 F 2 = F 2 F 1 . Operatori siffatti si chiamano commutabili^). E allora vale 

 un principio di calcolo funzionale : Se si parte da un qualunque insieme di 

 operatori lineari fra loro commutabili, tutti quelli che da essi si deducono 

 combinandoli con qualunque sèguito di operazioni analitiche (definite in base 



(*) Begione finita nel senso di bornée, che inoltre sia dotata di contorno conve- 

 nientemente « regolare » quanto occorre per la validità dei calcoli e dei passaggi che 

 verranno effettuati (p. es. sia un'area poligonale). 



( 3 ) Cfr. p. es. Pincherle e Arnaldi, Le operazioni distributive, Bologna, 1901. 



( 3 ) Per es., un moltiplicatore numerico (cioè costante rispetto alla x) è commuta- 

 bile con qualunque operatore lineare. 



