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alle regole generali di cui sopra, ed effettuate un numero finito o infinito 

 di volte, purché il risultato abbia un senso) sono operatori lineari commu- 

 tabili fra loro e coi proposti ; e per tutto questo insieme di operatori vale 

 un'algebra analoga (non del tutto identica) a quella ordinaria. Gli sforzi 

 dei cultori di calcolo funzionale operativo si dirigono di frequente a rica- 

 vare tali algebre, e servirsene per trovare regole di soluzione dei problemi. 



4. — Ciò premesso, scriviamo la condizione affinchè due operatori F : , F 2 , 

 del tipo F siano commutabili fra loro. Il prodotto F t F 2 si intende definito 

 mediante la forinola 



(3) W ì Ky(x) = F 1 (FMx)) 

 ovvero 



F a F 2 <p(x) = F, r + °°F 2 (^ , y) cf(y) dy = 



Y —oo 



- \^ dì.F x {x,ì) f^F^.y) (f (y)dy, 



*J —oo J — 00 



e siccome per le ipotesi fatte si suppongono verificate le condizioni per la 

 integrabilità sotto il segno integrale, si può anche scrivere 



(4) F, F 2 <p(x) = P" dy . <p(y) P°° F,{x , £) F 2 (| , y) dì , 



■J — OD 00 



cioè FiF 2 è ancora un operatore del tipo F, la cui funzione coefficiente, 

 che indicheremo con F x F 2 (x , y), è data da 



(5) F x F 2 (# , y) — ■ E, (a; , £) F 2 (l , y) d§ > 



J —oo 



Per conseguenza, si ha P 1 P 2 = F 2 Pi allorquando le due funzioni F,F 2 (a;,«/) 

 e FiF^x ,y) risultino identiche. La condizione richiesta è dunque 



(B) P°°Fi(.* , ì) F 2 (? ,y)d$= P°°F 2 (.z , ?) F,(f 



Si riconosce qui, di poco generalizzata, la definizione di permutabilità 

 del Volterra. Mantenendone la nomenclatura in questo caso più esteso, di- 

 remo che le F^x , y) , F 2 (:z , y) le quali soddisfano alla (B) sono permu- 

 tabili. 



Nel caso in cui le funzioni coefficienti si annullino per y > x , cioè 

 nel caso in cui le operazioni integrali F si riducano alla forma 



(6) v(^) = i 1 sp(#) = f » y) <p(v) d v < 



