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 la equazione (B) si semplifica in 



X ¥,{x , £) F 2 (£ ,y)d§ = {\{x , ?) F,(? , y) d£ , 



cioè coincide con la (A) del Volterra (permutabilità di prima specie). 



Se invece le F si annullano per y <C 0 e per y>l, le operazioni 

 integrali hanno la forma 



(7) ip(x) = F g>(x) = | F(a5 , y) <*>(y) dy , 



-so 



cioè sono operazioni « tipo Fredholm » , e la permutabilità è data da 

 'F^x , £) F 2 (£ , y) ^ = f F 2 (a; , £) F 2 (£ , y) 



(permutabilità rfe seconda specie del Volterra, Nota VII citata, § 8). 



Ma basterà in generale fissare l'attenzione sulla (B), nella quale en- 

 trambi questi casi, ed altri meno semplici che sarebbe facile immaginare, 

 si trovano tutti racchiusi. In esse formolo veramente, del pari che nella (1) 

 e successive, i limiti di integrazione sono infiniti solo in apparenza, perchè 

 le ¥(x , y) sono state supposte nulle al difuori di una regione finita. Ma 

 questa restrizione si può anche rimuovere, esigendo soltanto un particolare 

 comportamento a distanza infinita. Così pure l' ipotesi della continuità si 

 può sostiture con altre più generali. Su questi argomenti, mi riservo di ri- 

 tornare in un'altra occasione. 



55- — Dunque la permutabilità di duo funzioni F^ , y) , F 2 (# , y) è la 

 condizione che assicura la possibilità di assoggettare i corrispondenti opera- 

 tori integrali E\ , F 2 a un algoritmo algebrico analogo a quello ordinario. 

 L'algebra simbolica speciale delle funzioni permutabili si può mettere in 

 corrispondenza biunivoca con quella degli operatori ad esse corrispondenti ( 1 ). 



E potremo dire, cercando di dare una formulazione la più estesa pos- 

 sibile a un principio che corrisponde a una prima parte dei risultati del 

 Volterra : Allorché in una equazione funzionale, la funzione incognita 

 <p(x) si trova assoggettata solo ad operazioni lineari le quali (condizione 



(') Questo spiega gli interessanti risultati del prof. Evans, Sopra Valgehra delle 

 funzioni permutabili. Memorie dei Lincei, ser. 5*, voi. Vili, seduta del 5 marzo 1911 

 cioè l'algebra delle funzioni permutabili essere in corrispondenza di isomorfismo meri- 

 edrico con quella ordinaria (scalare). La differenza tra le due algebre sta specialmente 

 nella diversa formulazione delle condizioni di annullamento di un prodotto (occorre un 

 fattore degenere, non è necessario un fattore nullo) e nella limitazione del significato 

 delle operazioni inverse. Queste differenze non complicano sensibilmente i calcoli, ma sol- 

 tanto ne limitano la portata. 



f 



t> li 



