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Equazione del pelo libero. — A punti del pelo libero cor- 

 rispondono valori di f di modulo 1, posto perciò £ = e ia , dalla (6') si ricava, 

 con la connata approssimazione: 



<r n 



(6") e™ = 1 + iiq sen 2 y sen e . 



d£ 



Se si nota inoltre che — = i dff , la (4) dà 



(4') 



mentre la (5), dopo di avere separato la parte reale dalla immaginaria, ed 

 eliminato fra le due relazioni risultanti il parametro ff, dà per equazione di / : 



(7) y — Vo = — ?sen 2 — cos 



7T 



2 A 



Come si vede trattasi di una sinussoide. 



La costante y 0 rappresenta manifestamente la profondità media del 

 canale, che nel caso attuale è H ( 1 ). 



21 2 g ± 



La massima sopraelevazione dal livello medio è — q sen 2 — e corri- 

 sponde ai valori x — kl (k intero qualunque). 



(") Si osservi infatti che, la densità del liquido essendo 1, la portata H è definita da 



rv 



H = u dy , 

 Jo 



l'integrazione andando estesa, lungo una generica verticale, dal fondo fino alla linea li- 

 bera. Moltiplichiamo ambo i membri per dx ed integriamo fra 0 e A. Poiché H è costante, 

 nel primo membro si ottiene AH , e nel secondo l'integrale J di u dx dy esteso alla parte 

 di striscia S compresa tra le verticali x = 0 , x = l. Ciò posto, prendiamo in esame il 

 rettangolo E avente per base la base stessa di S, e per altezza il lirello medio y 0 , e 

 notiamo: a) che le porzioni di S esterne ad E sono entrambi congruenti a metà della 

 parte di E esterna ad S; b) che, come risulta da (6"), colla nostra approssimazione è 

 u — 1 sopra /; e) che la funzione u(x , y) può quindi essere prolungata anche nella parte 

 di E esterna ad S facendole assumere quivi i valori che le spettano nei punti di S esterni 

 ad E. Dopo ciò è manifesto che l'integrale J coincide coli' integrale di udxdy esteso 

 al rettangolo E. Potremo dunque scrivere 



D'altra parte, avendo designato con v la differenza costante <p(x + l , y) — <p(x , y), si ha 



Ciò posto, per la precedente abbiamo HA = py,, ; ma l = v, dunque H = j 0 ; e d. d. 



