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di formala fondamentale di Riemann in base ad una comunicazione che 

 egli aveva avuto dal grande matematico nel 1865. 



La considerazione di questo fatto non poteva non semplificare notevol- 

 mente il còmpito che io mi era proposto; quello cioè di ricercare se e fino 

 a qual punto le formole più generali di addizione, date finora, precisamente 

 come la forinola fondamentale di Eiemann, soltanto per valori razionali degli 

 elementi delle caratteristiche, potessero estendersi anche a valori reali od 

 imaginarì qualisivogliono dei medesimi. Mi era infatti sembrato assai proba- 

 bile che la risoluzione della questione per la formola fondamentale di Eie- 

 mann dovesse virtualmente contenere anche la risoluzione della questione 

 stessa per tutte le più importanti formole di addizione fin qui date, in 

 quanto esse si possano dedurre dalla formola di Eiemann con procedimenti 

 che non dipendano dalla speciale natura delle caratteristiche fondamentali. 



Nel § III di questo scritto ho dato appunto due diverse estensioni 

 della formola fondamentale di Eiemann. La prima (formola (III)) si riferisce 

 al caso in cui le caratteristiche fondamentali 



che definiscono il prodotto fondamentale 



*C r ] ((/)) ^C"] m) ' *Dr] {{n) ' *Dr] (( "' v)) 



si compongono di elementi del tutto arbitrari, cioè reali od imaginarì qua- 

 lisivogliano. Nella seconda (formola (III)') le dette caratteristiche si sup- 

 pongono assoggettate alla sola restrizione che le semi-somme : 



siano dei numeri interi. È notevole il fatto, da me già rilevato per p = 1 , 

 che questa sola restrizione è già sufficiente a dare alla formola il suo mas- 

 simo grado di semplicità, cioè precisamente quella stessa forma che si 

 otterrebbe supponendo interi tutti i singoli elementi 



9)1 



(p) 



g = 1 , 2 , 3 , 4 ; fi = 1 , 2 , . . . . p 



Credo anche utile richiamare l'attenzione sul fatto che il passaggio dalla 

 prima alla seconda formola si può effettuare mediante uno scambio letterale 

 semplicissimo ; giacché è prevedibile che con questo stesso scambio si possa 

 poi passare da qualunque formola di addizione, relativa al primo caso, alla 

 corrispondente formola relativa al secondo. 



Nel § IV ho dedotto dalla formola fondamentale quelle formole gene- 

 rali di addizione, ciascuna delle quali è individuata da uno speciale gruppo 



