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Matematica. — Sui gruppi transitivi dello spazio ad n di- 

 mensioni. Nota del dott. Eugenio Elia Levi, presentata dal Socio 

 Luigi Bianchi. 



In questa Nota do un teorema generale riguardante la forma delle 

 operazioni dell'ordine massimo (>4) di un gruppo finito continuo transi- 

 tivo; in una Nota successiva ne mostrerò due applicazioni coli' assegnare un 

 limite assai più stretto di quello del Lie all'ordine delle operazioni di un 

 gruppo primitivo e coll'approfondire lo studio delle sottoclassi di una classe 

 di gruppi. 



I. 



1. Sia G un gruppo transitivo dello spazio ad n dimensioni le cui va- 

 riabili indicheremo con i^i , ^2 t • • • ? • 



Supponiamo che l'origine sia un punto generico del gruppo; si operi 

 in esso la distribuzione canonica delle operazioni secondo l'ordine e sia s ^> 2 

 l'ordine massimo delle operazioni del gruppo. Siccome il gruppo è transitivo, 



posto p % = — — in esso esisteranno le n operazioni di ordine 0 : 



~òXi 



(1) X l f = p l -f . . . , X t f = p t + ....... , X n f = p n + • • • 



dove i termini tralasciati sono di ordine ^> 0. Sia Yf un'operazione di ordine 

 massimo s: 



(2) Yf — t x p x -f § 2 p 2 -j- . . . -{-£„p n + . . . 



dove le £ sono forme di grado s ed i termini tralasciati sono di ordine ^> s. 

 Insieme colle (1) e colla Yf esisteranno iu G- le operazioni 



(3) Y i f={YXi) = — —p i - — p ì — p n + ... 



dove i termini tralasciati sono di ordine >s — 1. L'operazione {YYì) sarà 

 di ordine 2s — 2 almeno ; ma poiché s > 2, sarà 2s — 2 >• s , e quindi 

 l'operazione ( YYÌ), di G e di ordine > s sarà identicamente nulla : 



o = (ra)-=|,($^||-t»^) A .+ ... 



sempre trascurando i termini di ordine > 2s — 2 . Quindi si avranno le n 2 ' 

 equazioni 



