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Ricordiamo che le £1 £ n sono forme di grado sin x l} x 2 ,..., x n : 



pel teorema di Eulero sulle funzioni omogenee sarà quindi 



Quindi moltiplicando per le (4) e sommando rapporto ad i, si otterrà 

 (5) ©'=jL^|| (J = l,...n) 



Deriviamo rapporto ad Xi queste equazioni (5) ; si ottiene : 



T~ 1< \~òXi ~òX}i ~òX( ~òXk} ^ 



Confrontando queste equazioni con le (4), avremo quindi 



Le £ ft e le — soddisfanno quindi per (5) e per (6) ad uno stesso 



~òXi 



sistema di equazioni lineari omogenee: affinchè le £ non siano tutte nulle 

 dovrà essere nullo il determinante dei coefficienti. Ma questo è il determinante 



funzionale delle £ rapporto alle x; dovrà quindi essere ^ 2 ' ' ' ^ — o , 



~~ò{ X i X% . . . Xn) 



Le £ non sono quindi funzioni indipendenti delle x; noi potremo sup- 

 porre che fra esse ve ne siano r sole indipendenti e che queste siano 

 precisamente £] £ 2 . Sarà quindi 



(7) ^^^^LiA^hkì^- (A = l...« — r,i=.l...n) 



Donde pel teorema di Eulero sarà pure 



r 

 i 



Sostituendo nelle (6) a — — i loro valori dati dalle (7), si otterrà 



~òXi 



(') Si noti che le (6) per il teorema di Eulero hanno per conseguenza le (5) ; e 

 che quindi le (6) sono equivalenti alle (4) perchè quelle si deducono da queste e vice- 

 versa queste dalle (6) e dalle (5). Esse esprimono quindi completamente la condizione 

 che (YYi) abbia nulli i suoi termini di ordine minimo. 



