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Ma per ipotesi in , 2 ' ' ' , esiste un minore 4= 0 d'ordine r , 



ò\X\ X% . . . X n ) 



quindi si avrà identicamente 



(9) ^^—Ln^k«~ L U = l...n;k=l.,.r) 



òXii i oX r+ h 



Segue di qui che la caratteristica di , 2 ' ' ' è <. n — r, ma essa 



v\Xi Xi . . • Xn) 



n 

 2 



indica 



è =r, quindi dev'essere r ^ n — r ossia r ^ j — J , dove 



il massimo intero contenuto in - . 



Li 



Osservazione. — Le A r+ftft sono funzioni omogenee di grado 0 nelle 

 %i x% . . . x n ; non però qualunque, poiché esse debbono soddisfare alle con- 

 dizioni di integrabilità delle (7) e (9). Se noi supponiamo n = 2,S si de- 

 duce di qui facilmente che le A,, +Wk sono costanti. Infatti per l'ultima osser- 



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, sarà in questi casi r = !.. Quindi le (7) 



vazione dovendo essere r 



diverranno ^ = A ft — (h = 2, 3 ; i=l,2,3) e le (8) j ft = A ft ^. 



Da queste ultime derivando e confrontando colle precedenti si deduce 

 = 0 e quindi A h = cost. 



ÒX 



2. Supponiamo ora s>4. Allora l'operazione Yu = (F; Xì) sarà una 

 operazione di G di ordine s — 2 almeno : 



(10) Y»=h^tp>+'-' 



Ed essendo s>4 sarà 2s — 4>s e quindi l'operazione ( Yu Y m ) di ordine 

 2s — 4 almeno sarà identicamente nulla. Ma si ha 



1 ,? \ 1 ?i D<£j ~ÒXt ~ÒX m ~ÒX h i ~ÒX m ~òXi ~ÒXi 1)Xh ] F3 * 



Quindi dovrà essere 



2_J ■ ■ I = 0 (!,I,«,; = 1...ìì) 



1 X^^i ~òXi ~òX m ~òX} i ~òX m ~òXì~òXi~òXììI 



Moltiplicando per x m e sommando, si otterrà dal teorema di Eulero 



(11) («-1)7 s — ^-«f^-|^- = 0 

 Kendiconti. 1905, Voi. XIV, 2° Sem. 18 



