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Ma derivando (6) rapporto ad xi si ottiene 



(12) Y ~a 2 ?fc ì>£; , y ^£ft_^!ÌL__o 



i ft D^i "2>#i 4" ft "à^i ~òXn ~òXi 



W~ sr- Vii 



E similmente, osservando che per (6) e (4) si ha ZJn — = 0, e de- 



~òXi ~ò%k 



rivando rapporto ad xi quest'ultima equazione si ha 



(13) y —^—^-4- y f q 



t* ~òxi ~òXk 1>Xì ~ r — n ' k ~òXi Dxi ~ì)X h 

 Sottraendo dalla (12) la (13) e confrontando con (11) si ha 



(14) à^^— =0 (i,lj = l...n) 

 Le (14) non sono altro che le (6) in cui a — - si è sostituito 



~òXi ~òXi ~òXi 



quiudi le derivate seconde debbono soddisfare all' equazioni stesse che le 

 derivate prime, e cioè dovrà essere 



(15) ^^- = j_ li A r+h1i -^- (h=l...n-r, i,l = l...n) 



òXi ùX\ i uXi oXi 



D'altra parte, derivando (7) si ha 



— 7; &r+hk ~r 2* 



~ì)Xi ~òXi i ~òXì ~òXi ~òXi ~òXi 



e confrontando con (15) si deduce 



- — = 0 (h = l...n — r , i,l = l...n) 



l ~òXi ~ò£Ci 



donde, per essere — \=f=0> si ottiene — = 0 ossia A,. + a* = 



~ò{X\ Xi ... Xn) ~òXl 



= cost. 



L'operazione Yf si potrà, per le (8), scrivere nella forma 



Y f=£i(Pl + Arn-U Pr+1 + • • • A nl p n ) -f- g 3 (p 2 + A r+12 p r+x -f- . . . A n2 p n ) -f- 

 • • • + £r(Pr + ^r+ìr Pr+1 ~\ f- Kr Pn) 



Facciamo la trasformazione di coordinate 



r > i 



, • — 1 /Vi t m - ■ ,1 



(16) , • . 



che, poiché le A sono costanti, è regolare nell'origine, e non muta quindi 



