— 137 — 



la distribuzione canonica delle operazioni secondo l'ordine ; sarà p' k = p ì{ -f- 

 -j- A r+lft jD, +1 -f- . . . -f- bnkPn {k r), quindi la Yf si muterà nell'altra 



Yf=ì x ?' y + M+. + . 



Le f saranno forme nelle nuove variabili x'\ le (9) ci dicono però che 

 esse non dipendono da JC\ 30% * * * 30 f> • Si può quindi conchiudere intanto che: 



Se in un gruppo G- transitivo esiste una operazione Yf di ordine 

 massimo s > 4, si può con un cambiamento di variabili portarla nella 

 forma Yf = % lPl -f- £ 2 p 2 + • • • ìrPr + • • • (tralasciando i termini di or- 

 dine ]> s) dove è r < £^§J e ^ e ^ sono funzioni di x r +\ x r+2 . . . x„ sol- 

 tanto. Si noti che le stesse conclusioni valgono non solo se l'ordine di Yf 

 è l'ordine massimo s , ma anche se è un ordine s' tale che 2s' — 4 ^> s. 



Osservazione. — Per n = 2 , 3 la osservazione in fine al n. 1 ci dice 

 che le stesse conclusioni valgono per s^> 2. 



3. Si supponga ora che il gruppo Gr contenga oltre ad Yf un'altra ope- 



razione di ordine s : Yf = y rfjPj -f- ••• ; esso conterrà allora tutte le ope- 

 razioni Y a) f= Yf-\-tYf dove t è un parametro arbitrario: 



(17) r »/ = Pl + H?p 2 + • • • + H« p r + Vrv Pr+1 + •••+ ^ ft + •.;• 



Operando sopra F U Y come su 7/ si otterrebbe che, con un conveniente 

 mutamento di variabili, si può portare Y a) f nella forma del n. 2 ; ma non 

 si potrebbe affermare che le operazioni Y w f, Yf si possono contemporanea- 

 mente portare nella forma predetta, perchè il cambiamento di variabili po- 

 trebbe dipendere da t. Il seguente ragionamento varrà ad escludere questo 

 dubbio. Osserviamo perciò che le funzioni H[ n H ( 2 C) ... rj r+1 ... rj n non sono 

 indipendenti non solo quando si riguardino quali funzioni di 30 \ 30% * • > 30 

 ma anche di 30 \ tV 2 • * • 30y\ t. Infatti, posto, in modo analogo al n. 1, 

 Yf = {Y u) Xi), si hanno le identità ( Y a *Y) = 0 (F* i, F) = 0. Le quali si 

 tradurranno nelle equazioni 



(18) I,^^-T ft ^ 1 ^ = 0 0 = 1. ..r) 



1,A^^0 (j = l...n-r) 



(19) ' i --fh J ^- = 0 (i = l...n,j=l...r) 



i ~òXi ~òXr+U 1 ~òXi ~òXk 



