necessaria : infatti sia V la varietà minima di imprimitività passante per 0 ; 

 il sottogruppo r di G che trasforma V in sè contiene tutte le operazioni 

 di G di ordine > 0 rapporto ad 0 , poiché queste appartengono al gruppo 

 di stabilità di 0 e quindi trasformano in sè V, e contiene qualche opera- 

 zione di ordine 0 poiché F agisce transitivamente in V. Inversamente la 

 condizione è pure sufficiente. Infatti si noti che si può senz'altro supporre G 

 transitivo, altrimenti esso è certo imprimitivo. Ciò posto, sia r un sotto- 

 gruppo che contenga tutte le operazioni di ordine >0 e qualche operazione 

 di ordine 0 in 0; sia V la varietà dei punti in cui 0 è portato da r, 

 questa conterrà altri punti oltre ad 0 poiché r contiene delle operazioni di 

 ordine 0 in 0. Sia P un punto qualunque dello spazio, trasformato di 0 per 

 l'operazione e; sia V P la trasformata per <r di V; io dico che le varietà V P 

 formano una divisione dello spazio e che sono varietà di imprimitività di G . 

 Per il primo punto occorre mostrare: 1° che qualunque sia l'operazione a 

 che porta 0 in P, sempre si ha la stessa V P ; 2° che se Q è di V P , V Q = V P . 

 Ora se P = c(0) = Ci(0), l'operazione y = a~ l e, è un'operazione del gruppo 

 di stabilità di 0 e quindi è un'operazione y di T; perciò sarà y(V) = V e 

 tfi(V) = cy(V) = o"(V) = V P ; quindi sia e che e, portano V in una stessa 

 V P . Se poi Q è di V P esso è il trasformato per a di un conveniente punto 

 M di V; Q = ty(M) ; ed il punto M, appartenendo a V, è il trasformato di 0 

 per una trasformazione y di r, quindi Q = Gy(0). La varietà V ( , sarà quindi 

 V'j = tfy(V); ma, y essendo di r,y(V) = V, quindi V Q = c(V) = V P . 



Le V P formano quindi una divisione dello spazio in varietà ; ma di più 

 esse sono varietà di imprimitività di G , perchè, se P e Pi sono due punti 

 qualunque ed è P, = r(P) , un punto qualunque Q di V P va per % in un 

 punto di V Pl . Infatti, posto P = c(0), sarà P]=to-(0), quindi V P , =tc(V) = 

 = t(V p ). È così completamente dimostrato l'assunto. 



5. Basandoci su questo teorema e sul teorema del n. 3 (Nota l a ), pos- 

 siamo ormai dimostrare che: 



Un gruppo che contiene operazioni di ordine > 4 in un suo punto 

 generico è imprimitivo. 



Se infatti un gruppo è intransitivo, esso è imprimitivo. Possiamo dunque 

 limitarci a considerare un gruppo G transitivo. Se esso contiene operazioni 

 di ordine > 4 si può applicare il teorema del n. 3 ; siano le operazioni di 

 ordine massimo di G ridotte nella forma data da tale teorema: le funzioni 

 ì\ , ì% , • • - , ìr, coefficienti di p x ,p 2 , , . . , p r nelle varie operazioni di ordine 

 massimo, sono funzioni di x r +\ , x r +i , • . . , x n soltanto ; noi supporremo che 

 esse siano ridotte con una trasformazione lineare a contenere il minimo nu- 

 mero di variabili possibile e che queste siano le x r r +1 , cc r '+ì sarà 

 r' >. r. L' insieme delle operazioni di G di ordine >0 e delle X x f\ X 2 f, ... , 

 X r 'f forma un gruppo. Infatti l'alternata di due operazioni di ordine >0 o 

 di una operazione di ordine > 1 e di una di ordine 0 è una operazione di 



Kendiconti. 1905, Voi. XIV, 2° Sem. 28 



