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ordine >0: quindi per dimostrare l'assunto basta dimostrare che l'alternata 

 di una operazione di ordine 1, con una delle X\f ', . . . , X r >f o di due di queste 

 è ancora una operazione del gruppo. Ora, se così non fosse, tale alternata Zf 

 dovrebbe contenere una operazione X r r+if; e quindi per l' ipotesi che le ? 

 delle operazioni di ordine massimo contengano tutte le w r > +x ,...,#„, la Zf 

 alternata con una conveniente Yf di ordine s darebbe una operazione di ordine 

 s — 1. Ora sia, ad esempio, Zf alternata di due operazioni di ordine 0: 

 Zf= (Z Zj) (i , j < r'), sarà (Z Y) = ((Zi Zj) Y) = (Z (Zj ) Y) + ((X Y)Z j ). 

 Ma (Zj ì) ed (Zi Y) sono ambedue operazioni nulle o di ordine s poiché le £ 

 non contengono le x x x 2 , . . . , x r <\ quindi ancora le (Xi(XjY)) e ((XìY)Xj) 

 sono operazioni di ordine s, oppure nulle, e tale è pure (ZY)'; talché si 

 deve conchiudere che la Zf non può contenere nessuna operazione X T r+%f. 

 Affatto analoga è la dimostrazione qualora la Zf fosse l'alternata di due 

 operazioni di cui una fosse Zif(i <. r') e l' altra fosse una operazione di 

 ordine 1. Conchiuderemo quindi che le operazioni da noi scelte formano un 

 gruppo, il quale sarà evidentemente intransitivo e soddisfarà a tutte le con- 

 dizioni del n. 4. Quindi per il n. 4 il gruppo 0 è imprimitivo; donde il 

 nostro teorema. 



Possiamo quindi enunciare il corollario: 



Un gruppo primitivo non può contenere operazioni di ordine > 4 . 



III. 



6. Il Lie (') chiama appartenenti ad una stessa classe due gruppi 

 transitivi in n variabili le cui operazioni di ordine 0 ed 1 incominciano 

 cogli stessi termini di ordine minimo. Siccome il gruppo è transitivo esso 

 contiene n operazioni della forma p x -f- . . . , p z -j- . . . , p n -f- . . . , quindi l' ipo- 

 tesi che il gruppo sia transitivo ci esime dal tener conto dell' ipotesi che 

 esso abbia gli stessi termini di ordine 0 nelle operazioni di ordine 0. Ricor- 

 dando poi che i termini di ordine 1 delle operazioni di ordine 1 costitui- 

 scono il gruppo indotto sugli elementi lineari, noi potremo dire che due 

 gruppi transitivi appartengono ad una stessa classe quando hanno lo 

 stesso gruppo indotto negli elementi linearci. Dato un gruppo lineare omo- 

 geneo su n variabili, le operazioni infinitesime di tale gruppo associate colle 

 operazioni p y ,p 2 , . • . , p n generano un gruppo pel quale il gruppo indotto 

 sugli elementi lineari è il gruppo omogeneo dato; quindi dato un gruppo 

 lineare omogeneo, esiste una classe cui esso appartiene e viceversa. 



Il Lie dice poi appartenenti ad una stessa sottoclasse ( 2 ) quei gruppi 

 di data classe le cui operazioni di ordine massimo s hanno lo stesso ordine : 



( J ) Lie-Engel, Erster Abschnitt, cap. 28, pp. 603-604. 

 ( 2 ) Loc. cit, pag. 606. 



