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diremo s indice della sottoclasse. Quale applicazione del nostro teorema 

 fondamentale vogliamo ancora dare alcuni teoremi sulle sottoclassi di una 

 classe data che, mentre illuminano la natura di tale classificazione, possono 

 utilmente servire negli studi per la determinazione dei gruppi transitivi ad n 

 dimensioni. 



7. Premettiamo una osservazione. Quando un gruppo appartiene ad una 

 data classe e sottoclasse, il gruppo formato dai termini di ordine minimo 

 dello sviluppo in serie delle operazioni del gruppo dato, che noi diremo 

 gruppo accorciato, è un gruppo che appartiene alla stessa classe e sotto- 

 classe del gruppo dato. Quindi nelle ricerche seguenti circa resistenza o no 

 di gruppi di una data classe e sottoclasse, ci potremo limitare a considerare 

 gruppi accorciati: tali cioè che le loro operazioni, sviluppate in serie nel- 

 l'origine (supposta, come sempre, punto generico del gruppo), constino dei 

 soli termini di ordine minimo ; od ancora tali che i coefficienti di ogni loro 

 operazione infinitesima nella distribuzione canonica secondo l'ordine siano 

 forme di uno stesso grado. 



Si consideri ora una classe che ammetta sottoclassi di indice s>4, 

 ed un gruppo accorciato appartenente ad essa: pel teorema del numero 3 

 le operazioni Yf di ordine s conterranno i soli simboli p x ,p 2 , . . . ,p r ed i 

 loro coefficienti le sole variabili x l+1 x r+ì . . . x n . Poniamo 



Yif = ( Tpi) Y iii J=(( YfcjpO ;\ . F, ff ...0 = ((( Yp it ) pO . . . p is ) 



Queste operazioni sono tutte appartenenti al gruppo e come Yf non conter- 

 ranno che pi ,p 2 , . . . ,p r e le variabili x r+1 , x r+ì , . . . , x n . Le operazioni 

 ^'iV-'s-i sono di ordine 1 ed appartengono quindi al gruppo lineare omo- 

 geneo che individua la classe. Due operazioni qualunque F iÌ2 ...i f, F[4...i ' f 

 sono permutabili, perchè non contengono che i simboli pip 2 ---p r e le va- 

 riabili x r +i , x r+2 , ■ • • , x n . Infine l'alternata di una operazione Yf-p .jAf 

 con una operazione Zf di ordine 1 è una combinazione lineare di operazioni 

 Yi[i' 2 ...i' h f ■ Infatti, ammettiamo il teorema dimostrato per le F ;„ ...» _ f; lo 

 si dimostra immediatamente per le F, i 3 ...i h f mediante l' identità Jacobiana. 

 Si ha 



Ma {ZYi i i ì ...i h _ i ) è per ipotesi una combinazione lineare di Y i [ i ' ì .,.i' h _ l f 

 quindi (,(ZYi 1 i i ...i h _ l )Pi ì ) è una combinazione lineare di F(ì\..ì' /. D'altra 

 parte (Zp,i h ) è una operazione di ordine 0, quindi una combinazione lineare 

 di pi e quindi pure (F 1 i„...i 7i _ 1 (Zpi h )) è una combinazione lineare di Y[i[...i' h f- 

 Ne segue che {ZY^...^) è pure una combinazione lineare di F« t i ..^./!. 



