— 218 — 



Siccome poi una (ZY) è ancora una Yf di ordine s. il teorema è dimostrato 

 in generale. 



Applichiamo queste osservazioni alle ,- a ...i f che, come già si os- 

 servò, appartengono al gruppo lineare omogeneo che determina la classe: si 

 avrà che 



Affinchè una classe ammetta sottoclassi eli indice s)>4 é necessario 

 che nel gruppo delle operazioni di ordine 1 che individua la classe, esista 

 un sottogruppo abeliano invariante che con opportuno cambiamento di 

 variabili si possa portare ad operare sulle sole prime r variabili con 

 coefficienti funzioni delle residue n — r variabili. 



Viene così ad essere assegnato un limite assai basso all' indice delle 

 sottoclassi per una estesa categoria di classi ('). 



8. Si abbia ora nel gruppo lineare omogeneo che individua la classe 

 un sottogruppo S di tale proprietà e supponiamo esista una operazione Yf 

 di ordine s tale che alternata (s — l)-volte con p x ,p 2 ,...,p„ dia una combi- 

 nazione lineare delle operazioni del nostro sottogruppo. In altri termini, se 

 le operazioni del sottogruppo S sono 



r r r 



Z» Pò ' Z Vi* Pi > • ' ; '- ' Z VjmPj 

 l 1 j l 



n—r . r 



dove } ?ji = Zft a ift ) supponiamo che esista una operazione Yf = T §jpj 

 i i 



di ordine s tale che le derivate omonime di ordine s — 1 delle siano le 

 stesse combinazioni lineari delle rjji al variare di j. Esisterà allora un 

 gruppo appartenente alla classe data ed alla sottoclasse di indice s con 

 tenente Yf. Infatti, indichiamo con Zf le operazioni d'ordine 1 del gruppo, 

 e consideriamo insieme con Yf tutte le alternate ( YZ) : esse sono tutte ope- 

 razioni d'ordine s (o nulle). Facciamo l'alternata di queste operazioni con 

 le pip 2 . . .p n successivamente 1 , 2 . . . s volte. L'insieme delle operazioni 

 così ottenute e di quelle assegnate di ordine 0 ed 1 forma un gruppo. Ed 

 invero, pel modo stesso in cui furono costruite queste operazioni, ogni alter- 

 nata di esse con operazioni di ordine 0 appartiene a tale insieme (od è 

 nulla). L'applicazione successiva dell' identità Jacobiana dimostra inoltre, in 

 modo analogo a quello tenuto nel n. precedente, che l'alternata di una delle 

 operazioni già assegnate di ordine 1 con una qualunque altra appartiene 

 all'insieme. Quanto alle residue alternate di due operazioni di cui nessuna 



( l ) Il Lie si pone (cfr. loc. cit., pag. 608) il problema se esiste un massimo per 

 l'indice delle sottoclassi di una data classe; ma non lo risolve affatto. Solo nel cap. 29 

 del primo volume il Lie risponde a tale domanda pel caso che il gruppo sugli elementi 

 lineari che individua la classe sia il gruppo lineare omogeneo generale o speciale, nel 

 qual caso l'indice della sottoclasse è <.2. Su questa questione si confronti pure il teo- 

 rema finale del n. seguente. 



