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è di ordine 0, od è di quelle già assegnate di ordine 1, è facile dimostrare che 

 esse sono tutte nulle. Basterà perciò mostrare che queste operazioni conten- 

 gono i soli simboli pi , p z . . . . ,p r e le sole variabili x r +\ x r+ì . . . x n . Ora 

 cominciamo dal considerare una operazione ( YZ). È questa una operazione 

 di ordine s: alternandola con operazioni pi si ha 



({ZY) K ) = ( Z( Y Vi )) - ( Y{Zp K )) = (ZYJ + Sai = ( ZY 0+ 2 "i *if> 

 = (ZY ii 0 + 2b s Y ii$ /+ Sai Yu t f 



Ripetendo questa operazione s — 1 volta, si riduce infine ad una combina- 

 zione lineare di Yi t ,•- ... i f e di una (^il l i 2 ,..i s _ 1 ); ma Yi x j s f è per 

 ipotesi di S, quindi anche ( Ti, t - 2 .., » s _ i Z) è di S. Ne segue che ogni (s — 1)- 

 esima alternata di (ZY) con operazioni pi è una operazione di S, non con- 

 tiene cioè che i simboli pi ,p 2 , . . ,p r e le variabili x r +i , • • • ,x n ; e lo 

 stesso deve avvenire quindi per (YZ). 



Dimostrata così la cosa per le operazioni di ordine s del nostro insieme 

 essa risulta anche per le residue per il modo con cui esse furono costruite. 

 Le nostre operazioni formano quindi un gruppo. Di più le operazioni di 

 ordine 1 non sono altro che quelle assegnate a priori, poiché quelle che si 

 ottengono alternando s — 1 volta operazioni di ordine s con operazioni d'or- 

 dine 0 appartengono, come or ora si è osservato, al sottogruppo S: quindi 

 il gruppo costruito appartiene effettivamente alla classe assegnata. 



Possiamo dunque dalle discussioni di questi ultimi numeri raccogliere: 

 Dato un gruppo lineare omogeneo esso determina una classe: per 

 costruire, se esistono, i gruppi accorciati della classe appartenenti a sot- 

 toclassi di indice s ^> 4, è necessario : 



1°. Determinare i sottogruppi invarianti intransitivi abeliani del 

 gruppo lineare omogeneo assegnato, e tali che le operazioni di tali sotto- 

 gruppi si possano con una trasformazione di variabili portare ad operare 

 sulle sole prime r variabili mentre i loro coefficienti contengono le re- 

 sidue n — r. 



2°. Indicate le operazioni di ordine 1 di tale sottogruppo con 



v r r / n—r \ 



Zj Vii Pj , Zi Vfì Pj,--- Zj Vjm Pj \Vji = Z a jT X r+h ) , 



determinare, se possibile, r forme di grado s tali che le loro derivate 

 (s — l)esime omonime siano le stesse combinazioni lineari delle al va- 

 riare di j. 



Esisteranno allora dei gruppi della classe data e della sottoclasse 

 di indice s contenenti l'operazione Yf=2!-jpj ed il minimo di essi si 

 costruisce facendo le alternate di F/con le operazioni assegnate di ordine 1, 



