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Agevolmente si possono trovare esempì dell'uno e dell'altro fatto. Così, 

 se si tratta di una circonferenza, ha luogo il primo fatto ; mentre, se si tratta 

 di una cardioide, ha luogo il secondo. 



Ebbene: noi ci proponiamo di trovare, al riguardo, una proposizione 

 generale. 



Per facilitare la ricerca, consideriamo il moto del punto N su quella 

 tale circonferenza di centro 0 . 11 punto N , su tale circonferenza, si muove 

 con continuità, a partire dalla posizione iniziale A, e si vede che il moto 

 di esso punto terminerà in A, oppure nel punto diametralmente opposto B, 

 secondochè ha luogo il primo od il secondo dei due fatti enunciati poc'anzi ; 

 cioè, secondochè la normale PM, quando P ha descritto tutto il ramo, ri- 

 torna nella posizione iniziale, o viene nella posizione opposta PQ . 



Allora la quistione, che vogliamo risolvere, si può presentare così: Stu- 

 diare il moto del punto N, che è noto dover terminare in A o in B; ve- 

 dere quand' esso termina in A e quando in B e, finalmente, tradurre sul 

 ramo, che si considera, la condizione che si sarà trovata. 



È questa la via che abbiamo seguita. 



Consideriamo un diametro generico XY e contiamo il numero delle volte, 

 in cui il punto mobile N incontra tale diametro. 



Io dico che: // moto del punto N terminerà in A ovvero in B, se- 

 condochè il numero di questi incontri è fari o dispari. 



Osserviamo, infatti, che, avendo preso il diametro XY perfettamente 

 generico, i punti in cui N incontra XY sono altrettanti punti in cui N attra- 

 versa XY. Ora il diametro XY spezza la circonferenza, considerata in due 

 semicirconferenze, in una delle quali sta il punto A e nell'altra il punto B. 

 Se si pensa al punto mobile N che parte da A e si muove sulla circonferenza, 

 un primo passaggio attraverso al diametro XY fa venire questo punto nella 

 semicirconferenza in cui si trova B ; un secondo passaggio lo fa tornare nella 

 somicirconferenza in cui sta A; un terzo lo fa tornare nella semicirconferenza 



in cui sta B , ecc Si vede cioè, contando questi attraversamenti, che quelli 



di ordine dispari corrispondono a passaggi del punto mobile nella semicircon- 

 ferenza in cui sta B, mentre quelli di ordine pari corrispondono ad altret- 

 tanti ritorni del punto mobile nella semicirconferenza in cui sta A. E poiché 

 il moto del punto mobile deve terminare o in A o in B , segue subito quello 

 che si voleva dimostrare; cioè: se quegli attraversamenti sono in numero pari 

 si finirà in A, altrimenti in B. 



Adesso risaliamo al ramo di curva fondamentale e vediamo che cosa 

 significa per esso la condizione prima trovata. 



Dal modo stesso con cui si è definito il moto del punto N su quella tale 

 circonferenza e dall'aver scelto il diametro XY in modo del tutto generico, 

 segue che ogni passaggio del punto N per X o per Y corrisponde ad un 

 punto proprio del ramo in cui la normale ha la direzione XY e, quindi, ad 



