— 277 — 



un punto del ramo in cui la tangente ha la direzione ben determinata della 

 perpendicolare ad XY; onde alla quistione che ci siamo proposti, possiamo 

 rispondere così: 



Quando il punto P, muovendosi sempre nello stesso senso sul ramo 

 di curva fondamentale, sarà ritornato nella posizione iniziale, il segmento 

 di normale PM avrà ripresa la sua posizione iniziale, oppure prenderà 

 la posizione opposta, secondochè è pari o dispari il numero delle tangenti 

 al ramo considerato (in punti propri), le quali passano per un punto ge- 

 nerico all'infinito. 



Il ramo considerato può essere di classe pari o di classe impari. Se si 

 esclude che esso abbia contatti colla retta all'infinito, il risultato ottenuto si 

 può enunciare in questo modo : 



Quando il punto mobile sul ramo ritornerà in P, posizione iniziale, 

 la normale riprenderà la sua posizione oppure rimarrà invertita, secondochè 

 la classe del ramo è pari o impari. 



Se però non si vuole scapito di generalità, bisogna tener conto dei con- 

 tatti colla retta all' infinito, ed allora il teorema enunciato prima si può 

 completare dicendo: 



Nelle ipotesi che noi abbiamo fatte, quando il punto P ritorna nella 

 posizione iniziale insieme colla normale PM , questa è invertita in questi 

 due casi: 



c) ramo di classe pari con un numero impari di contatti colla 

 retta all'infinito; 



b) ramo di classe impari con un numero pari (zero incluso) di 

 contatti colla retta all'infinito ; 



La normale PM, invece, non rimane invertita in questi due casi: 



c) ramo di classe pari con un numero pari (zero incluso) di con- 

 tatti colla retta all'infinito ; 



d) ramo di classe impari con un numero impari di contatti colla 

 retta all'infinito. 



2. La quistione risolta è intimamente legata a quella dello spezzamento 

 delle linee parallele ad un ramo di curva piana algebrica, ed anzi ricordiamo 

 come si può ottenere una di tali linee : Si fìssa un segmento arbitrario, poi, 

 in ogni punto di quel ramo, si considera la normale e su questa, da una 

 parte e dall'altra del punto stesso, si porta quel certo segmento. 



Il luogo di tutti i punti così ottenuti è ciò che dicesi * una linea pa- 

 rallela » a quel ramo, e quel certo segmento, che si è fissato da principio, 

 si potrà chiamare « distanza di parallelismo » fra le due linee. 



Consideriamo ancora il punto P insieme col segmento di normale PM e, 

 come si è spiegato prima, facciamo percorrere a P tutto il ramo. Allora il 

 punto M descriverà un tratto di una linea parallela a quel ramo. 



