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Se quel ramo è tale che PM ritorni nella sua posizione iniziale, quando P 

 l'ha percorso tutto, la linea parallela ad esso consterà di due rami: uno è 

 quello che viene descritto dal punto M , l'altro è quello che si avrebbe, 

 considerando, sulla normale al ramo in P, il segmento PQ, uguale ed op- 

 posto a PM , e poi, facendo descrivere da P , insieme col segmento PQ , tutto 

 il ramo. 



A moto terminato PQ tornerà anch'esso nella sua posizione iniziale, e 

 il punto Q avrà, quindi, descritto tutto un secondo ramo della linea parallela. 



Supponiamo, invece, che il ramo sia tale che, quando P l'ha percorso 

 tutto, si ottenga l'inversione del segmento di normale PM; cioè, PM venga 

 a fermarsi nella posizione opposta PQ . Allora il punto M ha descritto un 

 arco di linea parallela che comincia in M e termina in Q . Se facciamo ora 

 che P, sempre nello stesso senso, percorra il ramo una seconda volta, a 

 moto finito, otterremo nuovamente l'inversione della normale e quindi il seg- 

 mento PM , che prima s' era fermato in PQ , ritorna nella posizione ini- 

 ziale PM . Con tempora ne in ente il punto M descrive un secondo arco della linea 

 parallela che comincia in Q e termina in M, ed è chiaro che quest'arco, 

 insieme coli' arco precedente, forma un ramo solo della linea parallela. 



Lo spezzamento della linea parallela in due rami succede, quindi, solo 

 quando, facendo percorrere a P tutto il ramo insieme col segmento di nor- 

 male PM , questo non s' inverte, quando P ritorna nella sua posizione 

 iniziale. 



Usando allora del risultato ottenuto precedentemente, diremo: 



Si abbia un ramo illimitato di una curva piana algebrica,, dotato 

 di singolarità qualunque. Allora lo spezzamento delle linee parallele ad 

 esso in due rami succederà solo quando è pari il numero delle tangenti 

 al ramo in punti propri, le quali passano per un punto generico al- 

 l'infinito. 



Tenendo conto del numero dei contatti colla retta all' infinito, po- 

 tremo dire che lo spezzamento delle linee parallele al ramo di curva fon- 

 damentale succede certo in questi due casi: 



a) ramo di classe pari con un numero pari (zero incluso) di con- 

 tatti colla retta all'infinito; 



/?) ramo di classe impari con un numero impari di contatti colla 

 retta all'infinito. 



Le linee parallele, invece, consteranno certo di un sol ramo in questi 

 altri due casi: 



y) ramo di classe pari con un numero impari di contatti colla 

 retta all'infinito; 



è) ramo di classe impari con un numero pari (zero incluso) di 

 contatti colla retta all'infinito. 



