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Si possono trovare facilmente alcuni esempi. 



Si consideri una linea retta. Si ha così un primo esempio di ramo di 

 classe pari senza contatti colla retta all'infinito. 



Le linee parallele si dovrauno spezzare in due rami, ed è ben noto che 

 ciascuna si spezza in una coppia di rette. 



Si consideri una circonferenza. Si ha così un secondo esempio di ramo di 

 classe pari senza contatti colla retta all'infinito. 



Le linee parallele dovranno spezzarsi, e noi sappiamo benissimo che 

 ciascuna di esse si spezza in una coppia di circonferenze. 



Più in generale lo spezzamento delle linee parallele in due rami succede 

 per le coniche a centro ; ma se si considera invece la parabola, le linee ad 

 essa parallele consteranno di un ramo solo. Si avrà allora, infatti, un ramo 

 di classe pari con un numero impari (uno) di contatti colla retta all'infinito. 



Veniamo a curve del terzo ordine con punto doppio. Se questo punto 

 doppio è una cuspide, la curva ha un ramo solo di (ordine impari e) classe 

 impari. Allora, se la curva non è tangente alla retta all'infinito, le linee 

 parallele consteranno di un ramo solo, mentre se la cubica fosse tangente 

 alla retta all'infinito, le parallele avrebbero due rami. 



Se il punto doppio è, invece, un ordinario nodo, la cubica ha un ramo 

 solo di (ordine impari e) classe pari. Allora le linee parallele consteranno 

 di due rami, oppure di un ramo solo, secondo che la cubica non è o è tan- 

 gente alla retta all'infinito. 



3. Osserviamo ora che si possano trovare curve piane algebriche di or- 

 dine n delle quali un ramo sia tagliato da certe rette del piano in n punti, 



o anche solo in più di ^ punti, se n è pari, o in più di ' l punti, se 



n è impari. 



Allora, se si considerano delle linee parallele a questo ramo e si prende 

 la distanza di parallelismo sufficientemente piccola, si potrà fare in modo che 

 queste linee parallele siano tagliate da queste medesime rette in 2n punti o, 

 almeno, in più di n punti, perchè è chiaro che su ciascuna di tali rette avremo, 

 per ogni punto di sua intersezione colla curva fondamentale, due punti di 

 intersezione colla curva parallela, situati da bande opposte di quello. Se suc- 

 cedesse allora che queste linee parallele fossero formate di un ramo solo, si 

 potrebbe certamente affermare che o le curve parallele non si spezzano, o 

 che, se si spezzano, certamente una delle parti è di ordine maggiore di n. 



Ci serviremo di questa osservazione per discutere una congettura di 

 Cayley precisamente sulle curve parallele ad una curva piana algebrica data. 



Cayley afferma (') che, quando è data una curva piana algebrica che veri- 



(') Cfr. Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics. voi. XI (1871). La 

 Memoria di Cavie}" è intitolata: On eoolutes and parallel Curves. Per la medesima Me- 



