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fichi certe condizioni relativamente ai punti ciclici, le curve ad essa parallele 

 si spezzano in due curve tali che la curva data. 



Uno dei casi in cui, secondo Cayley, ha certo luogo questo spezzamento 

 è il seguente. 



Si consideri una curva piana algebrica avente nei punti ciclici del 

 piano I, J singolarità qualunque, e indichiamo, se n è la classe di questa 

 curva, con n — I e con n — J il numero delle tangenti condotte da I e J 

 rispettivamente alla curva, escludendo la retta IJ e le tangenti alla curva in 

 I o in J . Sono queste quelle che Cayley chiama tangenti focali della curva. 



Ebbene : egli osserva che quando n — \ — n — J = o, la curva paral- 

 lela alla curva data ha ordine, classe, numero delle cuspidi e numero dei 

 flessi doppi di quelli della curva data; per cui dice: « ciò porta all'assunto 

 che la curva parallela si spezza in due curve tali che la curva data ». Anzi, 

 usando della sua denominazione di tangenti focali, enuncia il precedente ri- 

 sultato dicendo: 



« La condizione affinchè la curva parallela ad una una curva data si 

 spezzi, è che la curva data non abbia tangenti focali » . 



Orbene, applicando i risultati che abbiamo ottenuti, possiamo citare 

 qualche esempio che contraddice l'ipotesi del Cayely. Il primo esempio lo 

 ricavo dalla cardioide. 



Come è noto la cardioide è una quartica piana dotata di tre cuspidi, una 

 al finito e due all'infinito, e precisamente nei punti ciclici. La classe di 

 questa curva è 3 e, se si considerano le tangenti che ad essa si ponno ulte- 

 riormente condurre dai punti ciclici, si vede che essa si trova nelle condizioni 

 dell'ultimo enunciato di Cayley. 



Ora, se noi prendiamo i punti reali della cardioide, essi costituiscono un 

 unico ramo di classe dispari senza contatti colla retta all'infinito; per cui 

 (applicando il teorema da noi precedentemente stabilito) è certo che le linee 

 parallele a questo ramo consteranno di un ramo solo. Ora io posso tracciare 

 rette che taglino quel ramo di cardioide in quattro punti e quindi, se la 

 distanza di parallelismo è sufficientemente piccola, il ramo della parallela in 

 otto punti. Ma allora come potrebbe questo unico ramo far parte di una curva 

 del quarto ordine ? 



La parallela, che è di ottavo ordine, non potrà spezzarsi. 



Un secondo esempio. 



Consideriamo l'ipocicloide a tre cuspidi. È una curva del quarto ordine, 

 di classe tre che è bitangente alla retta all'infinito nei punti ciclici. Anche 

 essa è nelle condizioni dell'ultimo enunciato di Cayley. 



moria si può vedere il volume Vili delle Collected Mathematical Papers of A. Cayley, 

 pagg. 42 e 43. Cfr. anche G. Loria, Spezielle algebraische und transscendente ebene 

 Kuruen, nel capitolo: « Die Parallelkurven », a pag. 644. 



