Dalle (3), (4) scende subito l'ultima parte del precedente teorema ('). 



Lemma II. — Condizione necessaria e sufficiente, affinchè l'ele- 

 mento (1) sia a curvatura costante, è che tutti i simboli \ijk~\ siano nulli. 



Infatti, se lo spazio è a curvatura costante in ogni singolo punto, è 

 sempre = [ik~\, ossia [ij/c] == 0. Viceversa, se tutti i simboli \_ijk~] 

 sono nulli, lo spazio è a curvatura costante in ogni singolo punto. E questa 

 curvatura è poi una costante effettiva (come risulta in generale da un teo- 

 rema di Schur) o come si deduce dalle (5), che ne dimostrano identicamente 

 nulle le derivate prime. 



3. Ora (Nota l a , § 3) noi possiamo senz'altro trascurare il caso di 

 varietà a curvatura costante, ossia (lemma II) potremo ammettere che almeno 

 uno dei simboli [ijk~\ sia diverso da zero. Vale in tal caso il seguente 



Teorema fondamentale. Se (1) non è a curvatura costante, esiste al- 

 meno un indice l , tale che tutti i simboli \_ijk~] , per cui uno degli indici 

 i,j,k è uguale a l, sono sema eccezione diversi da zero. 



Infatti, se tutti i simboli [ijk~\ sono differenti da zero, allora ognuno 

 degli indici 1 , 2 , . . . , n si può assumere come indice l. Sia invece p. es. 

 [123] = 0 ; indicheremo con 1 , 2 , 3 , . . . , t tutti gli indici tali che \_ijk~] = 0 

 per i<.t,k<.t,j<-t. Poiché non tutti i simboli \_pqr~] sono nulli, sarà 

 t <d n; ma certamente è t > 3 . 



(') Si trova che 



[12] _i i i , i < i r i v y i -\ì 



( 2 i//, - ^ a a„ 4 \f>i — ìp 2 a,, |_Vi — V« i $i — »A?J]ro«i,2> 



* <- 2 1 



4 ^— au (xpi — Vi) (Vi — ip-J 



[123] = j-I *J + L*Ì l x 



( 2 a,,(Vi — Va) (Vi - ^3) 4 a„ (Vi — Va) (Vi — 



X Cv-i — Va V. — V« ^~ ^" «Ai — 

 _l_y ^ L 



4 "4- flii (Vi — Vi) (Vi — «M (^i — *l>3 



[1234] = j-ì < + 1*2 ! x 



( 2 a„(Vi - Va) (Vi — (Vi - V*) 4 a„ (V. — Va)(V. — </'3)(Vi — ^ 



X 



r — — + 1 + vf 1 ~h 



LV. - Va V. -V3 V, -V4 -f Vi -ViJjr 0 t(.,a,3,O 



1 V' 2 

 > 5 e analoghe 



4 ^— ««( Vi — Va) (Vi — ^3) (Vi — (V'i — 



dove V — indica che Z percorre tutti i valori (1,2,... w) eccetto il valore 1 = 1, 



— Vi — Vi 



e dove |"'|j. 0 t(i,..j indica la somma dell'espressione tra ) j e delle analoghe, che si otten- 

 gono, rotando gli indici 1 , . . . 



