— 318 — 



In primo luogo io dico che xp h (per h~^> t) è costante ; basterà dimo- 

 strare che, se xp h =j= cost, allora [ijh~] = 0 (per i<t,j<.t, i^=j). Infatti 



sia fe^-t, #4M '-, &=f=/- Sarà [^01 — 0 e quindi = V* [_kijti]=0; 



e, poiché xp' h ^O, sarà [_kijlf\ = 0 , ossia [A ij~\ — [A(/] = 0; ma, poiché 

 [£z'y] = 0, sarà pure [A?73 == 0- Tutte le ip, non uguali a una costante, 

 hanno perciò un indice non maggiore di t ; e noi le potremo quindi indicare 

 con ipi , \pi , . . . , tp d , dove d <. £ ('). Io dico ora che tutti i simboli \_pqr~\, 

 per cui anche uno solo degli indici p , q , r sia maggiore di t , sono dif- 

 ferenti da zero. Infatti sia i <_ i , j <. t , h^> t. , m <_d («'={= / ={= w =}= ?')• 

 Sarà, poiché rjrae/] = 0, per (6): 



* xp' m [_hmj i] = — )COm] - = - • 



d^m yj m xph ym Yh 



Scrivendo questa uguaglianza per tutti i valori di m ( <. ^) distinti da 

 otterremo, integrando e indicando con p hij una funzione di X i , Xj ■ 



Indicando con a h y una nuova funzione di ^ , Xj , possiamo scrivere questa 

 equazione nel modo seguente : 



[ijK] = - • awj 



««■(V* — (Va — 

 e analoghe ( 2 ). 



Sia ora /fe -< ^ , A =4= z , À; =4= /. Dalla (4) si trae che tra i simboli 

 \J l ij~\ , \_hjk~] , [ij/c] esiste un'identità, che per le formule precedenti e per 

 la \_ijk~\ = 0 , diventa : a hi j — a hh j = 0 . Da questa uguaglianza si deduce 

 che tutte le a hij sono uguali a una stessa quantità a h dipendente solo dal- 

 l' indice h . Poiché poi a h = « A y si trova che a h è indipendente da e 

 quindi, per simmetria, anche da Xi,Xj. Ma, poiché a h =a hi j è funzione 

 soltanto di Xi , xj , avremo che cc h è una costante. 



Poiché poi non tutti i simboli \_hij~} (i <■ 1 , j <_ t , i 4= j) sono nulli, 

 sarà certamente a h = cost 4= 0 e quindi tutti i simboli \_hij~\ (i^t , i<-t, 

 i 4= j) sono diversi da zero. Ricordo ora che (se, c. s., m<.d ,i <_t ,i=^ m, 

 h>t) per le (5): 



~òZilf\ ,, rì . -, «a y' m 



— = — — — \u inni — 



~òx m Tm L * a hh {ip h — xpi) (xp h — \p m ) ' 



(') Bicordo che esiste certamente qualche ip non costante ; altrimenti lo spazio sa- 

 rebbe a curvatura costante (nulla): ciò, che abbiamo escluso. 



( 2 ) Bicordo che [ijK\ non dipende da x s , se i/' s = cost: altrettanto avviene quindi 

 di ahij (anche se s = i, oppure s = jf. In ogni caso è poi a hi j — a^jè, poiché [hij] — [hji\. 



