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Scrivendo questa equazione per tutti i valori di m (m <. d ; m =j= i) si 

 trova, integrando: 



ri hi = — 7—7 r 4- X ih 



dove X( h è funzione al massimo di xt . 



Valgono poi equazioni analoghe al variare di i (i <. t) e di h(h > 2). 

 Ricordiamo ora che (se /<J è [e A] — [/f] = (ip h — xpj) [hij~\. Ricordando 

 i valori di [ih~\ , [hij~\ , si trova che Xi h — [ij~\ e quindi anche X jh — 

 Tutte le quantità X ih {i <. sono perciò uguali fra di loro ; e poiché Xi h e 

 Xj h (quantità uguali) non dipendono che da Xi(xj), tutte le A iA saranno uguali 

 a una stessa costante l h ■ Così pure tutti i simboli (i <. t , / <. £ , i 4= /) 

 sono pure uguali a questa quantità A h , che è perciò indipendente dall'in- 

 dice h, e che noi potremo senz'altro indicare con l. In definitiva è dunque 



(7) [if] — A (l — cost) (i^ t j^ i).; li h~] = } + * 



(a ft = cost 4= 0) 



Ora è facile vedere che anche tutti i simboli \_hxj~\ (h^>t , x^> t,j <t) 

 sono differenti da zero. Se p. e. fosse \_hxj~] = 0 , sarebbe \_jx~] = , 

 ossia per (7) a h a Ay .(\p y . — xp } ) = a % ahh{*ph — c i° cne è assurdo, perchè 

 a h 4= 0 , a* 4= 0 (a A = cost , a* = cost), ip m (m <. d) dipende solo da x m , e 

 almeno una delle tp m non è costante. Così pure anche tutti i simboli 

 [hxx] {h^> t , x^> t , x^> t) {h 4= x 4= x 4= A) sowo differenti da zero. Se 

 p. es. fosse [Axx] = 0 , sarebbe [hx~] = [h%] . Ora dall' identità (cfr. la (3)) 

 tra [ih~\ , px] , [Ax] (e <. t) si deduce [Ax] in funzione di [hf\ , px] ; e, 

 per le (7), si trova: 



Formula analoga vale per \_h%] . Se dunque fosse \_hx~\ — [h%] , sarebbe : 

 7 L (^-^-) + ^(^-^) + r^(^-^) = o 



tthh «fc* a~a. 



equazione assurda per le ragioni dette più sopra. In conclusione: tutti i 

 simboli \_pqr~\ , per cui anche uno solo degli indici p , q , r è maggiore 

 di t, sono differenti da zero. Basta dunque scegliere l in guisa che « <J, 

 l^> t, perchè sia dimostrato il nostro teorema iniziale. 



4. Premesso questo, daremo una formula essenziale al nostro scopo. Per 

 noti teoremi sui determinanti è identicamente (vedi § 1) 



= 0(a,^,r,s = l,2,...,w;«</S;/-<s;a4=^;^H=« 

 oppure a = r , /S 4= 5 , oppure a 4= r , § = s) . 



