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Il punto di partenza di questo lavoro è il segueme teorema fonda- 

 mentale : 



» Affinchè un punto a del piano complesso sia uno zero di f(x), è 

 « necessario e basta che esso appartenga al derivato dell'insieme J 0 ». 



Fin dal 1889 il sig. Hurwitz ha dimostrato, col sussidio degli integrali 

 curvilinei, una proposizione più generale, che l'A. ha utilizzato nello studio 

 della funzione di Bessel (') e che è, senza dubbio, suscettibile di molte 

 altre interessanti applicazioni. Essa è venuta a mia conoscenza solo poco 

 tempo fa ; dopo che io avevo dimostrato, per via elementare, il teorema enun- 

 ciato sopra. Credo tuttavia opportuno, per le ragioni accennate, di esporre 

 qui la mia dimostrazione; tanto più che nel seguito del lavoro, ho bisogno 

 di richiamare qua e là qualche particolare della medesima. 



Fra i risultati ottenuti si troverà una nuova dimostrazione, molto sem- 

 plice, della continuità delle radici di una equazione della forma: 



f (x) essendo una trascendente intiera qualunque; e l'estensione alle funzioni 

 trascendenti di una proposizione, che ho dimostrato nella Nota : Sulla distri- 

 buzione delle radici della derivata di una funzione razionale intiera ( 2 ). 



§ 1. Alla dimostrazione del teorema fondamentale è opportuno premet- 

 tere due lemmi. 



Sia 



(1) A {x),ft{x) ,...,/„(#),. .. 



una successione di funzioni continue della variabile complessa x\ uniforme- 

 mente convergenti in un campo connesso r (contorno incluso). 

 Posto 



lim f n (x)=f(x) , 



la funzione /(<#) , per un noto teorema, è continua nel campo r e quindi il 

 suo modulo assume in questo campo un valore massimo L ed un valore mi- 

 nimo l . 



In queste ipotesi ci proponiamo di dimostrare il seguente: 

 Lemma I. «Indicando con q un numero reale maggiore di L, esiste 

 « un numero intiero e positivo m tale che, per n > m , risulti : 



lift C») I < 9 



« in ogni punto x di T (contorno incluso) » . 



Posto per brevità f(x) = y,f ll (x) = y, l ,'m ogni punto x di r 

 abbiamo : 



\y \ < L<£, 



(') A. Hnrwitz, Ueber die Nullstellen der BesseVschen Function. Mathematische 

 Annalen, B. 33, pag. 247 e sogg. 



(2) Kend. Accademia dei Lincei, 1904, voi. XIII, 2° som., fase. 8°. 



