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la quale ci dice che l'indice della variabile y non esce dal cerchio di 

 raggio L col centro nell'origine, finché la variabile x rimane nel campo F. 

 Sia <J un numero reale e positivo tale che 



per la supposta convergenza uniforme della successione (1), esisterà un nu- 

 mero intiero e positivo m tale che, per n^> m, e qualunque sia il punto x 

 di r, risulti: 



,| Vn — |/| O- 



Segue da tutto ciò che l'indice di y n non esce mai dal cerchio col centro 

 nell'origine e di raggio L -\- a , e quindi che 



I Yn (#) l< e 



per n^>m ed x appartenente a r . 

 In modo analogo si dimostra il 



Lemma II. « Supposto />0 e designando con q un numero reale e 

 n positivo minore di l , esiste un numero intiero e positivo m tale che, per 

 « n ^> m , risulti in tutto il campo r 



? I fn 0*0 I > Q » • 



In ciò che segue per intorno di un punto a del piano complesso, intende- 

 remo sempre un cerchio col centro in a, che designeremo brevemente con (r), 

 essendo r il raggio. Indicheremo talora con (r) anche la circonferenza di raggio 

 r e con (r', r) una corona circolare concentrica di raggi r' ed r, (r'<^r). 

 Inoltre designeremo sempre, come si è fatto sopra, con 



/' (x) = boi- b,x + b 2 x 2 + . . . + b n x n + . . . 



una trascendente intiera e con J 0 l'insieme degli zeri dei polinomi: 



fn (#) = b 0 -\- b x x + biX 1 + • • • + b n x n , (n = 1 , 2 , . . . , co) . 



Teorema fondamentale. « Affinchè il punto a sia uno zero della fun- 

 « zione intera /(<#), è necessario e basta che esso sia punto limite dell'in- 

 « sieme J 0 . Verificata questa condizione, in un intorno del punto a per 

 « quanto piccolo, vi è almeno uno zero di f n (x) , da un certo valore dell'in- 

 « dice n in avanti » . 



Supponiamo dapprima |/(«)|!>0. Gli zeri di f{x) formano un insieme 

 isolato ('), per cui in un intorno (r) abbastanza piccolo di a, non vi sono 

 zeri di f(x). Designando con l il minimo modulo di f(x) nell'intorno (r), 

 dovrà essere l >■ 0 . Poiché la successione di polinomi 



fi (x) ,f i {x),...,f n (x),... 



è uniformemente convergente in un campo finito qualunque ( 2 ), scelto un nu- 



(') V. ad es. G. Vivanti, Teoria delle funzioni analitiche. Hoepli, 1901, pag. 117. 

 ( 2 j Id. id.. pag. 68. 



