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mero reale e positivo q < l , in virtù del lemma II esiste un immero intiero m 

 tale che, per n^>m, 



IA(*)l>e 



in ogni punto x di (r) . L'intorno (r) non può quindi contenere zeri di 

 fn {%) > ( n ^> m ) • Segue immediatamente da ciò, che ogni punto limite del- 

 l'insieme J 0 è uno zero di f(x). 



Supponiamo in secondo luogo f(a) = 0. In un intorno abbastanza pic- 

 colo di a non vi sono zeri di f(x) all'infuori del punto a. Segue da ciò 

 che il minimo modulo di / (x) nella corona (r x , r) , {r x < r) , è un numero 



0. Sia q un numero reale e positivo minore di l ; pel lemma II esiste 

 un numero intiero e positivo m tale che, per n ^> m', risulti 



(1) lAO*) |><? 



in ogni punto x di (r t , r). 



Per la continuità di / (x) , esiste un intorno (r r ) del punto a , (/ <C r x ), 

 in tutti i punti x del quale \f {x)\<C.Q\ da ciò e dal lemma I risulta che 

 esiste un numero intiero m", tale che, per n >• m", 



(2) IA(*)I<* 



qualunque sia il punto x di (r r ). Sia Wi il più grande dei numeri m' ed m" ; 

 per n~^>m x saranno verificate ad un tempo le (1) e (2). Indichiamo breve- 

 mente con C ? ( ' l) la curva di Cassini definita dall'equazione 



f n {x) = y , |M = ?1 (')• 



La (1) ci dice che la corona (r x , r) è esterna alla G ? (n) e la (2), che l'in- 

 torno (/) è interno a questa curva. Esiste in conseguenza una curva chiusa 

 Yp {n \, appartenente alla C p (n) , contenuta nell'intorno (r) considerato e che 

 circonda il punto a. Siccome la y p (n) (n ^> m^, contiene almeno uno zero di 

 f n (x), rimane dimostrata anche la seconda parte del teorema enunciato. 



Osservazione I. La dimostrazione precedente vale, come è chiaro, 

 per una successione qualunque di polinomi, uniformemente convergente in 

 un campo connesso r (contorno incluso) e quindi in, particolare, per una 

 serie di potenze considerata nel suo cerchio di convergenza. 



Osservazione IL In virtù delle considerazioni precedenti possiamo 

 asserire che la curva y p (rt) (n ^> m^, è contenuta nella corona (r' , r x ). Ora è 

 facile riconoscere, che esiste un numero intiero e poritivo m 2 , tale che, per 

 ìi ^> m 2 , non vi può essere nella corona (r , r x ) un'altra curva chiusa ap- 

 partenente alla C ? (,!> ; altrimenti in (r , r x ) vi sarebbero infiniti punti del- 

 l'insieme J 0 e quindi, pel teorema precedente, uno zero di f{x), contro 

 l'ipotesi fatta relativamente all'intorno (r). Da tutto ciò si raccoglie: 



(') V. la mia Nota Sulle serie di polinomi che rappresentano un ramo di fun- 

 zione analitica monogena. Annali di Matematica, t. VI, ser. Ili, pag. 234 e segg. 



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