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« Se nell'intorno (r) non vi sono zeri di f (x) all'infnori del punto <z, 

 t designando con q ed f due numeri reali e positivi abbastanza piccoli e 

 « con m un numero intiero e positivo sufficientemente grande, per n > m vi 

 « è wwa ed &#<z so/« curva chiusa /p" 1 ' appartenente alla C ? (,1) e contenuta 

 « in (r). Essa soddisfa inoltre alle seguenti condizioni : 



« 1. È contenuta nella corona (r' , r) e circonda il punto a; 

 « 2. Contiene tutti gli zeri di f n (x) appartenenti ad (r) ». 



Notiamo ancora che, per la dimostrazione precedente, lungo la circon- 

 ferenza (r) si ha | f{x)\ ^>q. 



Osservazione III. Dal teorema fondamentale scende pure come ovvia 

 conseguenza che : 



« Se in un campo connesso r (contorno incluso) la funzione intiera f{x) 

 « non si annulla, nel campo stesso non vi sono zeri di f n {x) da un certo valore 

 * dell'indice n in avanti ». 



§ 2. Vediamo ora come si comporta l'insieme J 0 nelF intorno di un 

 punto «, il quale sia radice multipla di ordine p dell'equazione f{x) = 0. 

 Dimostreremo, a proposito, un teorema, il quale caratterizza le radici mul- 

 tiple e serve di complemento alla proposizione fondamentale. 



Sia a una radice dell'equazione f{x) = 0 ed (t) un intorno di a in cui 

 le funzioni f(x) ed f'(x) non si annullano, se si eccettua il punto a per la 

 f(x) ed eventualmente anche per la f'{x). In ciò che segue supporremo che 

 gli intorni di a che dovremo man mano considerare, sieno contenuti in (f), 

 anche se non lo si dichiara esplicitamente. 



Dimostreremo dapprima il seguente : 



Lemma. » Sia (ó) un intorno di a tale che per ogni numero reale e 

 « positivo r j< ó, V intorno (r) contenga h-\-l zeri di f„(x) da un certo 

 « valore dell'indice n in poi: h essendo un numero fisso, anche nullo. In 

 « queste, ipotesi, assegnato (r), esiste corrispondentemente un numero intiero 

 i e positivo m, tale che, per n^> m, nell'intorno (r) vi sono h zeri di f' n {x). 

 « E reciprocamente ». 



In virtù dell'Osservazione II, (§ 1), se q ed r', (r' < r), sono numeri 

 reali e positivi abbastanza piccoli ed m x un numero intiero abbastanza grande, 

 per n~^>m x , esiste una ed una sola curva chiusa y ? (n) appartenente alla cas- 

 siniana C p (n) , che circonda il punto a e che è contenuta nella corona (V , r). 

 Oltre a ciò la curva y p Cn) contiene tutti gli zeri di f n (x) appartenenti all'in- 

 torno (r). Se si suppone m x sufficientemente grande, per l'ipotesi fatta, la 

 curva Y P (n) contiene h -j- 1 zeri di f n (x) e quindi ne contiene h della f' n [x) (')• 

 D'altra parte la funzione f'(x) non si annulla nella corona (r' , r); segue da 

 ciò e dall'osservazione III, § 1, che esiste un numero intiero m 2 , tale che, 

 per n^> mi', la corona stessa non contiene zeri di f' n {x). Designando con m il 



(') C. A. Dell'Agnola, Sulla distribuzione delle radici, ecc., loco citato. 



