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più grande dei numeri m. ed m 2 , per n ^> m sono verificate tutte le precedenti 

 condizioni, per cui l'intorno (r) contiene effettivamente h zeri, ed h soltanto, 

 della funzione f' n {x). 



Reciprocamente: supponiamo che nell'intorno (r) di a, (a essendo come 

 prima uno zero di f(x) ), vi sieno, da un certo valore dell'indice n, h zeri 

 di f'n{x), con h designando sempre un numero intiero fisso, anche nullo; e 

 dimostriamo che ve ne sono h -f- 1 di f n {x) , per n^> m, m essendo un nu- 

 mero intiero abbastanza grande. Basta per ciò osservare, come, ripetendo le 

 considerazioni precedenti, esiste un numero intiero m, tale che, per n ^> m, 

 gli h zeri di f' n {x) sono interni alla curva y 0 ln) e che questa curva contiene 

 tutti gli zeri di f n (x) appartenenti all'intorno (r). (Osservazione II, § 1). 

 Possiamo quindi concludere che per n^>m l'intorno (r) contiene /i-f-1 zeri 



di f n (x) (')• 



Teorema. « Affinchè il punto a sia radice multipla di ordine p dell'equa- 

 « zione f(x) = 0, è necessario e basta che esista un numero reale e posi- 

 « tivo ò, tale che, per r nell'intorno (r) vi sieno p zeri (e soltanto^») 

 « di f„(x). da un certo valore dell'indice n in avanti « ( 2 ). 



Sia a radice multipla di ordine p dell'equazione f(x) = Q, di guisa che 



f(a) = f'(a) = f"(a) ='..'. = (a) = 0 ; | > 0. 



In un intorno (<?) abbastanza piccolo di <z, (a escluso), le funzioni f(x) , 

 f'{x),...f'- p ~' l) (x) non si annullano: inoltre \ f lpì (x)\ > 0. Sia r un numero 

 reale e positivo non maggiore di ó; nell'intorno (r) la funzione f (p) (x) non 

 si annulla, per cui nell'intorno stesso non vi sono zeri di f n lp \x), da un certo 

 valore m p dell'indice a in poi. In virtù del lemma precedente, esiste un numero 

 intiero m v _ x , tale che, per n ^> m v _ x , nell'intorno (r) vi è uno ed un solo 

 zero di /Sf -1 ' {x). Il lemma ci dice pure che in (r) vi sono : due zeri di 

 f\f~ 2) (x) , (n > m p - 2 ) ; tre zeri di f ip ~ 3) {x) , n < m p - 3 ) ; e così via; ed in- 

 fine p zeri di f n (x) , (n ^> m) ; gli intieri m p - 2 , m p ^ 3 , m , essendo suffi- 

 cientemente grandi. 



Reciprocamente: sia (ó) un intorno di a, tale che, per ogni r _< 6, nel- 

 l'intorno (r) vi sieno p zeri di /n(^)» da un certo valore dell' indice n in poi. 

 Il teorema fondamentale ci dice subito che a è radice dell' equazione 

 f(x) — 0. D'altra parte, coll'aiuto del lemma dimostrato, si riconosce im- 

 mediatamente che a è radice multipla di ordine p dell'equazione f(x) = 0. 



Ciò si dimostra anche per assurdo. Se il punto a fosse radice multipla 

 di ordine q, essendo q % p , per la prima parte del teorema, in un intorno 

 abbastanza piccolo di a vi sarebbero q zeri di f n {x), da un certo valore del- 

 l'indice n in poi, il che contraddice l'ipotesi fatta. 



(') C. A. Dell'Agnola, Sulla distribuzione delle radici, ecc., loco citato. 

 ( 2 ) Cfr. A. Hurwitz. loco citato. 



