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Corollario. « Se sul contorno di un campo connesso r non vi sono 

 « zeri della funzione intiera f(x), questa, e la f n (x), da un certo valore del- 

 l' l'indice n in poi, si annullano lo stesso numero di volte nel campo T » ('). 



Se nel campo T non vi sono zeri di f(x), esso non può contenere zeri 

 di fn{%\ da un certo valore dell'indice n in poi (Oss. Ili, § 1). 



Nel caso opposto, sieno «i , a 2 , ... , a p , le radici distinte di f(x) con- 

 tenute in r ed Si y Si , .... ,s p gli ordini rispettivi di moltiplicità. Posto 

 Si s-i -\- . . . -\- s p = q , ci proponiamo di dimostrare, che nel campo r vi 

 sono q radici di f n {x) da un certo valore dell'indice n in poi. Infatti, aspor- 

 tiamo dal campo r i punti a y , « 2 , ... , a p , mediante dei piccoli intorni (ri), 

 (r 2 ) , . . . , (r p ) , che supponiamo interni a r. Nel campo rimanente, che desi- 

 gneremo con r { , non vi sono zeri di f(x) : esiste quindi un numero intiero m\ 

 tale che, per n > m\ nel campo stesso non vi sono zeri di f n (x) (Osserva- 

 zione III § 1). D'altra parte, se gli intorni (>,) , (r 2 ) , ... , (r p ) sono scelti suf- 

 ficientemente piccoli, pel teorema precedente, essi contengono rispettivamente 

 Si , s-2 , ... , s p zeri di f n (x), da un certo valore m" dell' indice n in poi. Desi- 

 gnando con m il più grande dei numeri m' ed m", per n^> m vi sono evi- 

 dentemente Si -f- s 2 -f- • • • ~f" s ii — Q zei 'i di fn{%) contenuti in T. 



§ 3. Coll'aiuto delle proposizioni precedenti possiamo dimostrare facil- 

 mente la continuità delle radici dell'equazione 



(i) m = y, 



f{x) essendo una trascendente intiera qualunque. 

 In altri termini: 



« Se per y = b l'equazione (1) ammette p radici eguali ad a, per y 

 « prossimo a b, l'equazione stessa ammette p radici prossime ad <z » ( 2 ). 



Supponiamo per semplicità b = 0 ( 3 ). Sia (r) un intorno di a nel quale, 

 all' in fuori di a, le funzioni f(x), f'(x) f ip ~ v (x) non si annullino e di 

 più nell'intorno stesso si abbia \f lpì (x)\ 0. In virtù del teorema del para- 

 grafo precedente esiste un numero intiero m, tale che, per n > m, nell'in- 

 torno (r) vi sono p radici dell'equazione f n (x) = 0. Inoltre, scelti due numeri 

 reali e positivi convenienti r' e q , (r r < r), esiste corrispondentemente una 

 curva chiusa y p (n> , (n > m), appartenente alla cassiniana C p (n) , contenuta 

 nella corona (r' , r), che circonda il punto a (Oss. II, § 1). Questa curva 



(') Cfr. Hurwitz, loco citato. Cfr. anche E. Borei, Lecons sur les fonctions entières. 

 Paris, GauthierVillars, 1900, pag. 43 e segg. 



( 2 ) Per altre dimostrazioni della continuità di funzioni di tipo più generale si può 

 consultare ad es.: L. Bianchi, Lezioni sulla teoria delle funzióni di variabile complessa, ecc., 

 (litografìa). Parte P. Pisa, Spoerri editore, pag. 238 e 288. — S. Pincherle, Lezioni sulla 

 teoria delle funzioni. Bologna 1893 (lit.). E. Maillet, Sur les lignes de décroissance ma- 

 xima des modules. Journal de l'École polytechnique, IP sèrie, Vili Cahier, pag. 84. 



( 3 ) Se fosse |#|>0, basterebbe considerare in luogo di f(x) la funzione f(x) — b. 



