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contiene, come sappiamo, tutti gli zeri, in numero di p, della f n {x) apparte- 

 nenti all'intorno (r). Segue da ciò che l'equazione 



f n (x) = y' , \\y'\ = q; n> m{ 

 ammette p radici (e p soltanto) : 



n ' n ' ' 



appartenenti all' intorno (r), i cui indici sono situati sulla curva y (3 0ì) . Se poi 

 si ricorda che sulla circonferenza (r) la funzione f{x) non può assumere il 

 valore y\ pel corollario del § precedente, possiamo concludere che la fun- 

 zione stessa assume nell'intorno (r) p volte il valore y' ('). Designando 

 con X\ , x*,..., arj, le ^> radici dell'equazione 



f{x) = y 



appartenenti all'intorno (r) e ricordando che, per l'ipotesi fatta, \f'{Xi)\^> 0, 

 (i == 1, 2, ... , p), si può anche asserire che ciascuna di esse è semplice. No- 

 tiamo infine che l' intorno (r) può scegliersi piccolo a volontà e che, asse- 

 gnato (r), le considerazioni precedenti si possono ripetere per ogni y il cui 

 modulo è minore di q. Il teorema della continuità rimane così dimostrato 

 pienamente. 



Dalla precedente dimostrazione risulta: 



« Se a è radice multipla di ordine p dell'equazione 



f(x) — 0, 



« in un intorno di a abbastanza piccolo, la funzione f(x) assume con legge 

 « di continuità tutti i valori di un intorno dell'origine pure sufficientemente 

 « piccolo, e ciascuno di essi lo assume p volte » ( 2 ). 



Notiamo ancora che se m è un numero intiero abbastanza grande, 

 per n > m, le p radici dell'equazione 



fn{x) = y ||y|<=e(, 



appartenenti ad (r) formano un unico sistema circolare ( 3 ). Segue immedia- 

 tamente da ciò e dal teorema fondamentale che: 

 « Le p radici dell'equazione : 



f{x) — y \\y\^Q\ 



» dell' intorno (r), si permutano circolarmente » . 



Osservazione. Le proprietà precedenti valgono, come è chiaro, pei 

 punti del piano in cui f(x) assume un valore qualunque b. 



0) Basta applicare il corollario alla funzione /'(#) — y', tenendo presente che sulla 

 circonferenza (r) è \f(x) — y'\ >0 lOss. II, § 1). 



( 2 ) Cfr. E. Maillet, loc. cit, pag. 80. 



( 3 ) Briot et Bouquet, Théorie des fonctions elliptiques. II 6 édition, Paris, Gauthier- 

 Villars, 1875, pag. 40 e segg. 



