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§ 4. Data una trascendente intiera f(x), continueremo a chiamare curva 

 di Cassini corrispondente al numero reale e positivo q, il luogo dei punti 

 del piano complesso in cui \f(x)\ = g e la indicheremo brevemente conC p . 



Consideriamo l'insieme delle curve di Cassini C p <n) L definite dalle equazioni 

 algebriche 



f n (x) = y, \]g\ = Q\ , (» = 1 , 2 , ... oo ). 



Un raggio uscente dall'origine incontra queste curve in un insieme nu- 

 merabile di punti. Pel teorema fondamentale (§ 1) e per una osservazione 

 fatta alla fine del § precedente, i punti limiti di tale insieme appartengono 

 alla curva C p . Se si fa ruotare con continuità e in un dato senso il raggio 

 considerato fino a che venga a riprendere la posizione iniziale, i punti limiti 

 suddetti generano la curva C p . Questa curva si può dunque ritenere, in certa 

 qual guisa, come limite delle curve algebriche C p (n) . Essa divide il piano 

 in due regioni: l'una, che chiameremo interna, in cui \f{x)\ <Cp; l'altra 

 esterna, nella quale \f(x)\^>Q. 



Sia y p UQa curva chiusa appartenente alla C p e si supponga che essa 

 non abbia punti comuni con altre curve della C p , o, ciò che torna lo stesso 

 (§ 3), che su questa curva non vi sieno radici della f'(x). In questa ipotesi 

 ci proponiamo di dimostrare il teorema seguente : 



« Il numero degli zeri di f'(x) contenuti nella curva y ? , è uguale a 



« quello degli zeri di f{x), contenuti nella medesima curva, diminuito di 



« una unità » ('). 



Sia x un punto di y p e col centro in x descrivasi un piccolo cerchio 

 di raggio r, che indicheremo con (x\ r). Supponiamo che x' percorra la 

 curva Yp'i il cerchio (x\ r) descriverà un'area r, la quale, se r è scelto abba- 

 stanza piccolo, sarà limitata da due curve chiuse simili alla y p ; l'una in- 

 terna e l'altra esterna a questa curva e che designeremo brevemente con y% e 

 con Ye- Poiché sulla y p le funzioni f(x) ed f\x) non si annullano, esiste, 

 in virtù di una nota proprietà delle funzioni analitiche, un numero reale e 

 positivo à, tale che, per r <^ó, l'area r (contorno incluso) non contiene zeri 

 di f(x) e di f\x); cosicché gli zeri di queste funzioni contenuti in y p , 

 sono tutti interni alla curva y*. Ciò si verifica altresì per le funzioni f n {x) 

 ed fn(x) da un certo valore n x dell' indice n in poi (Oss. III a , § 1). In ogni 

 punto x di Yi si ha | /'(<#) | <C(?; P er cu i (lemma I, § 1) esiste un numero 

 intiero m\ tale che, per n > m\ risulti : 



(1) l/n^lO- 

 Se poi il numero r è scelto piccolo abbastanza, nei punti di y e si 



avrà !/"(.£) |> da ciò e dal lemma II (§ 1), si avrà pure: 



(2) \fn(x)\>Q 



(') Cfr. C. A. Dell'Agnola, Sulla distribuzione delle radici, ecc., loc. cit. 



