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D'altra parte vari risultati complementari, ottenuti nel corso di questi 

 studi, mi avevano condotto a pensare che non solo per le quadriche rotonde 

 ma ben anche per le quadriche generali l'elemento geometrico delle indi- 

 cate congruenze W dovesse conservare il suo significato fondamentale e la 

 teoria delle superficie applicabili sulle quadriche potesse così, semplifican- 

 dosi, raggiungere il grado stesso di sviluppo conseguito dalla teoria delle 

 superficie di curvatura costante. 



Queste previsioni geometriche hanno intanto ricevuto una completa con- 

 ferma per quanto riguarda le quadriche generali prive di centro o parabo- 

 loidi; e dei risultati ottenuti mi propongo appunto di dare notizia nella 

 presente comunicazione. Le ricerche sulla deformazione dei paraboloidi già 

 da me esposte nel T. IX, Serie 3 a degli Annali di Matematica (1903), op- 

 portunamente sviluppate ed interpretate nel nuovo senso geometrico, mi hanno 

 dato qui il modo di raggiungere l' intento. 



Quanto alle superficie applicabili sulle quadriche generali a centro è da 

 pensarsi che si perverrà ad un perfezionamento corrispondente della teoria 

 utilizzando il risultato fondamentale, stabilito dal Darboux nel 1899, che 

 collega la deformazione delle quadriche alle superficie isoterme speciali, e 

 gli studi ulteriori sulle trasformazioni di queste ultime superficie da me 

 esposti l'anno scorso nel T. XI degli Annali ('). 



2. Limitandoci per ora al caso dei paraboloidi, ecco l'enunciato della 

 prima proposizione fondamentale per la teoria delle trasformazioni delle su- 

 perficie applicabili su queste quadriche: 



Teorema A). Ogni superficie applicabile sul paraboloide generale, 

 ellittico od iperbolico, appartiene come prima falda focale ad una doppia 

 infinità di congruenze W, la cui seconda falda è applicabile sul parabo- 

 loide stesso. 



Il passaggio da una deformata S del paraboloide ad un'altra deformata S l5 

 che formi insieme con S le due falde focali di una delle co 2 congruenze W 

 considerate nel teorema, costituisce una delle oo 2 trasformazioni della su- 

 perficie S. 



Data la superficie S, le operazioni analitiche necessarie per costruire le 

 trasformate Si consistono nell'integrazione di un'equazione differenziale del 

 tipo di Riccati, precisamente come per costruire le trasformate di Bàcklund 

 di una data superficie pseudosferica. Ed anche qui delle due costanti arbi- 

 trarie, che figurano nella trasformazione generale della data superficie S, una 

 entra già nei coefficienti della indicata equazione di Riccati. Denoteremo tale 

 costante con e e una qualunque delle trasformazioni corrispondenti sarà in- 

 dicata col simbolo B<r. 



(') Ricerche sulle superficie isoterme e sulla deformazione delle quadriche. 



