Dalle proprietà delle equazioni di Riccati segue che, nota una delle 

 trasformate Si della superficie iniziale S per mezzo di una B c , le altre ce 1 

 superficie trasformate, corrispondenti al medesimo valore della costante a 

 si ottengono eseguendo semplicemente quadrature. E poiché della Si cono- 

 sciamo già una trasformata, la S, basteranno quadrature per costruire le oo 1 

 trasformate della nuova Si per la medesima B G , e così via di seguito. 



Ma un nuovo ed importante passo nella teoria si può compiere serven- 

 dosi della seconda proposizione fondamentale, che diciamo il teorema di per- 

 mutabilità : 



Teorema B). Se da una superfìcie S applicabile sul paraboloide ge- 

 nerale (ellittico od iperbolico) si ottengono due nuove deformate S, . S 2 

 del paraboloide stesso mediante due delle nostre trasformazioni B ai , B c , , 

 a costanti Gì , tr 2 differenti, esiste una quarta superficie S' della medesima 

 specie, pienamente determinata e costruibile in termini finiti da S , S t , S 2 , 

 che è legata, come la S , alle due medesime §\ , S 2 da due trasformazioni 

 BV 2 , B r <j, colle stesse costanti c 2 , a Y invertite. 



È questo, come si vede, l'analogo del teorema di permutabilità per le 

 trasformazioni delle superficie pseudosferiche; da esso segue ancor qui, come 

 principale corollario, la proposizione seguente: 



Quando di una deformala S del paraboloide si conoscono tutte le c© 2 

 superficie trasformale, V applicazione successiva ed illimitata del processo 

 di trasformazione non richiede più alcun calcolo d'integrazione. 



In questo caso si trovano per esempio le superficie di traslazione, con 

 curve generatrici in piani perpendicolari applicabili sui paraboloidi ; abbiamo 

 così un effettivo gruppo di deformate dei paraboloidi, contenente un numero 

 grande ad arbitrio di costanti, che si ottengono tutte in termini finiti con 

 soli calcoli di derivazione. 



3. Coi teoremi precedenti la teoria delle superficie applicabili sui pa- 

 raboloidi generali raggiunge evidentemente lo stesso grado di sviluppo della 

 teoria delle superficie pseudosferiche. 



All'enunciato delle nostre proposizioni generali, in particolare del teo- 

 rema fondamentale A), è necessario aggiungere alcune osservazioni comple- 

 mentari che ne precisano l'estensione. Nel teorema A) l'applicabilità delle 

 superficie di cui si tratta è intesa nel senso generale analitico: come equi- 

 valenza dei loro ds~, per forinole di corrispondenza reali od immaginarie. 



Dal punto di vista reale, e limitatamente al caso attuale dei parabo- 

 loidi, dobbiamo aggiungere quanto segue: 



Scrivendo l'equazione del paraboloide ellittico od iperbolico sotto la 

 forma normale 



