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esprimiamone il quadrato ds' 2 dell'elemento lineare per i parametri a , /? 

 dati da 



avremo 



( 1 ) ds 2 = (a 2 + p) du~ ±2apda d(ì -f (/? 2 -f q) dp 2 . 



Una superficie reale S, data dalle forinole 



z = x(a,p) , ij = y(u,$) , z=.s(a,p), 



che in un campo reale di variabilità per a , /? abbia l'elemento lineare (1), 

 è da dirsi applicabile sul paraboloide in senso ristretto, cioè la regione reale 

 di S è applicabile sulla regione reale del paraboloide. 



Ora se nella (1) cangiamo ad esempio /? in p ]/— i , abbiamo il nuovo 



(2) ds 2 = (a 2 + p) da' + 2 a/? da dfi -f {p 2 — q) d@ 2 



equivalente, nel senso generale analitico, al ds 2 dato dalla (1). Se conside- 

 riamo una superficie reale S che per valori reali ài a , fi abbia l'elemento 

 lineare (2), noi la diciamo ancora (nel senso generale) applicabile sul para- 

 boloide ; però questa volta l' indicata regione reale di S non è applicabile 

 sulla regione reale del paraboloide, bensì sopra una regione immaginaria o 

 ideale della quadrica. Diremo per ciò, usando un'opportuna denominazione del 

 geometra russo Peterson, che in questo caso la S è applicabile sul parabo- 

 loide fuori dei limiti, mentre nel primo caso l'applicabilità si dirà propria 

 o dentro ai limiti. 



Ora il nostro teorema A) si applica indistintamente alle quattro corri- 

 spondenti forme di ds 2 : 



a) ds 2 = {a 2 -j- p) da 2 — 2 a? da dfi -f (/i 2 + q) d§ 2 



b) ds 2 = (a 2 -f p) da 2 + 2aj3da dp + {(3 2 — q) dp 2 



c) ds 2 = {a 2 + p) da 2 + 2 apda dp -f {p 2 -f q) dp 2 



d) ds 2 = (a 2 + p) da 2 — 2apdadp-\- {p 2 — q) dp 2 , 



delle quali la prima e la terza appartengono all'effettiva regione reale del 

 paraboloide iperbolico od ellittico rispettivamente, la seconda e la quarta 

 alle loro regioni ideali. Ma se si tratta delle prime due forme (paraboloide 

 iperbolico) le due falde focali S , Si delle congruenze W del teorema A) ap- 

 partengono insieme o alla specie a) o alla specie b), cioè S , Si sono appli- 

 cabili propriamente (in senso ristretto) l'ima sull'altra. Per le due seconde 

 forme c) d) invece (paraboloide ellittico) le due falde focali S , Si appar- 

 tengono l'una alla specie c), l'altra alla d), cioè una di esse è applicabile 



