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sul paraboloide propriamente o dentro ai limiti, l'altra impropriamente o 

 fuori dei limiti. Nel caso adunque di una superficie S applicabile propria- 

 mente sul paraboloide ellittico è necessario applicare un numero pari di 

 volte le nostre trasformazioni per ottenere una nuova superficie applicabile 

 ancora propriamente sul paraboloide ; con un numero dispari di tali trasfor- 

 mazioni si ottiene al contrario una deformata impropria o fuori dei limiti. 



Dobbiamo da ultimo avvertire che il teorema A) non è applicabile al 

 caso particolare del paraboloide rotondo, o meglio le oo 2 congruenze di cui 

 si parla si riducono in questo caso all'unica congruenza formata dalle tan- 

 genti alle deformate delle parabole meridiane e la seconda falda focale di- 

 venta la superficie complementare del paraboloide, che è applicabile, fuori 

 dei limiti, sul paraboloide stesso. 



Insomma, dal nostro punto attuale di vista, si comporta più semplice- 

 mente il paraboloide ellittico generale che non il paraboloide rotondo. Per 

 altro di questa speciale superficie conosciamo già in termini finiti tutte le 

 deformate (Darboux) e la teoria delle loro trasformazioni, quale consegue dai 

 teoremi di Guichard e dalla teoria delle superficie d'area minima ( ] ), è ben 

 lungi dal presentare l'interesse inerente agli altri casi, ove i metodi stessi 

 costituiscono un vero e proprio processo d' integrazione. 



4. Non è mia intenzione dare qui tutte le forinole relative alle trasfor- 

 mazioni delle superficie applicabili sui paraboloidi; il lettore potrà vederne 

 ampiamente svolta la teoria in una Memoria che si pubblicherà fra breve 

 negli Annali di Matematica. Soltanto, per far conoscere il metodo di trasfor- 

 mazione, darò qui le foratole relative ad uno dei casi. 



Considero una superficie S applicabile propriamente (dentro ai limiti) 

 sul paraboloide iperbolico, e tale di più che il doppio sistema coniugato (u , v) 

 che si conserva coniugato nel passaggio dalla configurazione S a quella pa- 

 raboloidica sia formato di due sistemi di linee reali e distinte. Una tale 

 deformata S (di prima specie) del paraboloide è definita intrinsecamente 

 come segue ( 2 ). Scelte le dimensioni del paraboloide in guisa che sia 



P 1 



indichiamo con 6 una funzione di u , v che soddisfi l'equazione a derivate 

 parziali del secondo ordine: 



(A) — - = senh 6 cosh 6 . 



( 1 ) Cfr. le mie Lezioni, voi. II, pp. 332 segg. 



( 2 ) Cfr. la citata Memoria del T. IX degli Annali, § 7 b). 



