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Siano poi a , 8 , X , ,u quattro funzioni di u , v che soddisfino al sistema 

 lineare : 



— = X eosh 6 , — = X senh 0 , 



(B) 



Da 

 1)V 



lX 



lU 



_ 2t 

 ' Iv ,a 



cosh 6» 

 a — 



fi senh 0 



IP 



' DV ~ 



/* cosh 6 , 



lX 



!>0 

 = a 



_ 16 





1)V 1>U 



senh 6 ~ò0 



senh0 , coshfl „ 

 a -f- /?; 



jo 1 q 



Questo è un sistema lineare illimitatamente integrabile e possiede V integrale 

 quadratico 



« ! — X"- — — — — - = cost. 



V 1 



Scegliendo i valori iniziali di a , 8 , X , ^ per modo che la costante 

 del 2° membro risulti = 1, che sia cioè 



a 2 3* 



(B*) ^-^-, — + -^-4-1, 



. p q ' 



ne risulta definita intrinsecamente la nostra deformata S mediante le sue 

 due forme quadratiche fondamentali ( 1 ): 



(3) dx 2 + chf + dz 2 = {a 2 -f p) da 2 — 2a8 da dB -f (/9 2 -f- q) dS 2 



(4) «te rfX + dy dY + ^ dZ = — VPq Xfl {da 2 - dv 2 ) 



yqa 2 -\-pB 2 -j- ^ 



dove nella prima i differenziali da , d8 si intendono espressi per du , rfy me- 

 diante le (B): 



^ rfa = X cosh 6 cfe -]- ^ senhft dv 

 \ dB — X senh 0 du-\- fi cosh 0 dv . 



Ciò premesso, ecco come otteniamo le trasformazioni delle nostre super- 

 fìcie. Essendo 0 una soluzione della (A), le equazioni simultanee per 0, 



iS 1)0 



— L -f- — = — (cosh a senh 0 cosh 0 v -f- senh o - cosh 6 senh 0i) 



: \do do 



— L -f- — = (cosh o - cosh 0 senh 0! -f- senh a senh 6 cosh 0,) , 



7)^ "Ì)M 



(') Qui, al solito, x,y,z denotano le coordinate di un punto mobile sopra S; 

 X,Y,Z i coseni di direzione della normale. 



