— 365 — 



dove e indica una costante arbitraria, formano un sistema illimitatamente 

 integrabile e la sua soluzione generale, che contiene una nuova costante ar- 

 bitraria oltre o - , soddisfa ancora alla (A). Ora da una quaderna a , B , X , /x 

 di funzioni che soddisfano al sistema lineare (B) ed alla equazione quadra- 

 tica (B*). noi passiamo ad una nuova quaderna 



che soddisfa le equazioni analoghe (Bi), (B*), cangiato 0 in 0! , mediante le 

 formole di sostituzione lineare: 



ka x = cosh . X -f- senh 0, . fi — senh a . a 



kp v = senh 6 y . X -f- cosh 0, . ,u -f- cosh a . 8 



/ , , . , „ cosh0 senh0 , 

 (u) \kli=— AA — Bu — a 8 



v q 



, _ . senh0 . cosh 0 „ 

 kfli = CU + D/z-j — .a-f- — - — ./?. 



Qui A indica una costante data dalla formola 



k = |/ senh 2 <J -f- - = j 7 



1 



e i coefficienti A, B, C, D si esprimono nel modo seguente per 0 , 0i : 



/ A = cosh <r senh 0 senh 0, -f- senh a cosh 0 cosh 0, 

 ] B = cosh e senh 0 cosh 0, -j- senh cosh 0 senh 0i 

 j C = cosh a cosh 0 senh 6^ -j- senh o" senh 0 cosh 0! 

 \ D = cosh <r cosh 0 cosh 0! -f- senù a senh 0 senh 0! . 



Dalle funzioni 0 t , ai , , Aj , resta così individuata intrinsecamente 

 una nuova deformata S! del paraboloide, mediante le formole corrispondenti 

 alle (3), (4) 



dsx\ + dy\ + ^'i = («? 4- p) dal — 2«, /?, + {B\ + q) d8\ 



dx x dX i + dy, dY l + «fc rfZ, = tn ^ y ut _ dv ^ _ 



\/qa\ + jOj»? + j?g 



Fra i punti delle due deformate S , S, del paraboloide risulta una cor- 

 rispondenza ove si riguardi come corrispondente ad un punto P = (u , v) 

 dell' una, il punto F x = (u , v) dell'altra nel quale i parametri u , v hanno i 

 medesimi valori ; tale corrispondenza conserva, come è chiaro, i sistemi 

 coniugati. 



