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la cui soluzione è data, per \k\<Cr, dalla serie (o), vi è da considerare 

 l'equazione, che si può dire omogenea 



(b) co — kk{a>) = 0. 



Questa equazione non ammette soluzione per ogni valore di k. Così, sotto 

 l'ipotesi del n. 2, l'equazione non ha, nell'insieme C. soluzione per \k\<^r, 

 poiché da (b) si deduce 



la quale contradice all' ipotesi (3). 



Risulta da ciò che per \k\<C_r, l'equazione (a) ammette in C un'unica 

 soluzione, quella rappresentata dalla serie (5). 



Se per k = k la (b) ammette soluzione, si dirà che w è un invariante 

 di A relativo al numero k . 



5. Tornando all'ipotesi del n. 2, si possono distinguere tre casi: che 

 sia r = co , r = 0 , o che r abbia un valore finito. Nel primo caso la se- 

 rie (5) è una funzione intera di k; essa risolve per ogni k l'equazione (a), 

 che ammette in C 1' unica soluzione espressa da quella serie : l'equazione (b) 

 non ha soluzione per alcun valore di k. In questa ipotesi, si vede pure che 

 ha ima, ed una sola soluzione in C ogni equazione della forma 



(c) a 0 g> -\- cuA((f) -j a m A. m ((f) = f. 



6. Consideriamo ora il caso in cui A ammetta in C un raggio r finito, 

 tralasciando per il momento il caso di r = 0. Indichiamo con B un'opera- 

 zione 1 — kiÀ.; essa, applicata a C, darà un insieme lineare Ci che coin- 

 cide con C se è |A, | < r. Nel caso \k x \^r, Ci è contenuto in C, ma può 

 non coincidere con C. Ammettiamo che il raggio di A in Ci sia i\ ^> | k x | ::: • r. 

 Sotto questa ipotesi, si trova: 



a) che esistono in C imo o più invarianti di A relativi a , i quali 

 formano un insieme lineare i3, ; 



b) che esiste un'operazione T, rappresentata da una serie 



T = 2c„A n B, 



assolutamente ed uniformemente (') convergente per \k\<^r^ la quale tras- 

 forma C in Ci , ed un'altra operazione L della medesima forma, che tras- 

 forma C in Sii • 



e) che l'operazione (1 — À"A) _1 , per |^|<!^i, si può esprimere me- 

 diante 



(l-M)-' = T + -^-L; 



(') La convergenza uniforme s'intende, come al n. 3, tanto rispetto agli elementi 

 ■di C quanto alle variabili da cui dipendono questi elementi. 



