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d) che l' insieme C si può scomporre in 



Ci ed J2, essendo senza elementi comuni; 



e) che, eccettuato il valore k — k x , l'operazione A non ammette in- 

 varianti relativi a numeri k inferiori in modulo ad r x . 



7. Può avvenire che non B, ma B 2 trasformi C in un insieme C, in 

 cui il raggio r x di A sia superiore ad r. Si trova allora: 



a) che esistono in C invarianti di A relativi a k x , o radici di 



co — k x A.(w) , 



i quali costituiscono un insieme lineare fì x ; ed invarianti di secondo or- 

 dine, o radici di 



co — 2AiA(w) + k\ A 2 (m) = 0 , 

 costituenti unitamente ai precedenti un insieme lineare Q[; 



b) che esistono operazioni T , L , 1/ della forma 



2 c n A" B 2 



convergenti assolutamente ed uniformemente per \k\<^r x , e che mutano, la 

 prima, l'insieme C in d, la seconda C in fì x , la terza C in 



c) che per \k\<Cr x , si ha 



(1 - kky = T + — - 1 — V + 1 L; 

 7 k — ki i (k — ki )- ' 



d) che l'insieme C si può scomporre in 



o = Ci + #: ; 



e) che infine non esistono invarianti di A relativi a numeri k minori 

 di r x in valore assoluto, ad eccezione di k = k x . 



8. I casi precedenti si generalizzano facilmente; il risultato al quale 

 si giunge è il seguente : 



Esista un'operazione 



P = (l — k x k) (1 — kik) ... (1 — k s k) 



dove ki , ko , ... k s sono numeri fra loro distinti e maggiori di r in valore 

 assoluto, tale che essendo C x l'insieme (necessariamente contenuto in C) che 

 essa genera quando si applichi a C, il raggio di A in d sia un numero 

 positivo r x maggiore dei valori assoluti di k x ,k z ,.,.k s . Sotto questa ipotesi: 



a) Esisteranno in C invarianti di A relativi a fa (i = 1 , 2 , ... s) ; 

 sia Sii lo spazio lineare di questi invarianti. 



b) Esiste un'opera/ione T rappresentata da una serie 



T = Sc n A*P 



