— 372 — 



dove a{x , t) è una funzione di una variabile reale, finita e continua nel- 



l' intervallo < ^ X \ 



( 'O'j^L t <. 1 . 



Sia C l' insieme delle funzioni di una variabile, finite e continue Del- 

 l' intervalli fra 0 ed 1, estremi inclusi. Il risultato dell'operazione (8) sarà, 

 per ogni elemento /(/) di C , pure un elemento di C, e tali sono pure i 

 risultati di A 2 , A 3 , ... 



Sia fx il massimo valore assoluto di f(t), m il massimo valore asso- 

 luto di a(x , t) negli intervalli indicati ; sarà 



mn\< 



/.i m n x n 

 n ! 



onde segue che il raggio di A nell' insieme C è infinito. Si è così nel caso 

 considerato al n. 5 ; l'operazione A non ha invarianti in C, e per ogni k la 

 soluzione dell'equazione (a) è data da 



(9) 9=*|>A»(/r 



n—O 



Questa serie si può modificare in modo notevole, mediante un procedi- 

 mento dovuto al Volterra ('). Posto 



a t (x , t) — a(x , t) , a n +i{% , t) = , v) a n (u ,t)du. 



t 



viene 



A "(/")= f7(0 <*n(x,t)dt, 



talché la (9) si può scrivere 



(10) <p( x ) = f(x)-\-\ f(t)Tk n a n {x,t) di. 

 La nota legge degli indici 



p^tn+n __ A_ m A. n 



si traduce qui nella relazione 



rx rx rt 



f{t) a m+n (x ,t)dt= oc m (x , t) I f{v) a n {u , t) du dt , 



«•'0 J 0 o 



di cui il Volterra ( 2 ) dà la dimostrazione per via ricorrente. 



(1) Atti della E. Accad. di Torino, 12 gennaio 1896. 



( 2 ) Lavoro citato, formula (7). 



