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1. Poiché la ricerca delle quattro posizioni di equilibrio del corpo al- 

 lorché questo è legato ad un punto fisso arbitrario 0, dipende dalla ricerca 

 del triangolo coniugato comune alla conica centrale ip di Darboux ed al si- 

 stema antipolare H ', nel piano centrale <r del corpo, rispetto al cerchio y> 

 che ha per centro il piede 0' della perpendicolare abbassata da 0 su e, e 

 per raggio la distanza ti = 00' (cfr. § IV, n. 15, Nota cit.), è evidente che, 

 intorno al punto 0 saranno possibili infinite posizioni di equilibrio se ip e II 

 avranno infiniti triangoli auto-coniugati comuni; vale a dire, detto T il si- 

 stema polare rispetto a xp, se il prodotto UT è un'omologia (necessariamente 

 col centro E, e con l'asse <?, in un punto ed una retta che sono polari sia 

 rispetto a H che rispetto a T). Ora, poiché nel prodotto HT=0, i punti 

 0', 0 (con C indicando il centro di T) sono corrispondenti, la retta O'C 

 passerà pel centro E di 0; e, d'altra parte, poiché il polo della O'C, sia 

 rispetto a II che rispetto a T è il punto all'infinito di e, ne segue per es- 

 sere e perpendicolare ad O'E = O'C che CO' è un asse di T. Dunque, la 

 proiezione normale 0' del punto 0 sul piano centrale e è un punto di un 

 asse di T; vale a dire è 0 un punto di uno dei due piani mediani del 

 corpo, per adoperare una denominazione dovuta al prof. Turazza ( 1 ). 



2. Per vedere quale è il luogo dei punti 0 che rispondono al problema, 

 diciamo 



(1) /x 2 x 2 -f- X 2 y 2 -f- A 2 ,u 2 — 0 



l'equazione della conica centrale di Darboux riferita ai suoi assi; le equa- 

 zioni di tutte le coniche col centro in un asse di T, i cui sistemi polari 

 hanno per prodotto con T un'omologia, sono quelle dell' una e dell'altra delle 

 due forme 



(2) \x 2 x 2 + Ihf + Ìt'> 2 — % — m)' 2 = 0 



(3) n 2 x 2 + Ih/ + ;.-,u 2 — k(x — m) 2 = 0 , 



ove k è un parametro che varia da una conica all'altra, e corrispondente- 

 mente è y — m = Q, o x — m = 0 l'equazione dell'asse dell'omologia pro- 

 dotto. Perchè la (2) rappresenti un cerchio, si deve avere : 



(4) ,u 2 — A 2 — A' , d'onde k = l 2 — ,u 2 



ed, analogamente, perchè sia un cerchio la (3) si deve avere: 



(5) ,u 2 — k = l 2 , d'onde k = n 2 — l 2 . 



Nel primo caso, l'ordinata CO' = t] del centro del cerchio rappresentato 

 dalla (2) ed il raggio i£ (i = ]/— i) sono rispettivamente dati dalle forinole 



t\ = — — z m , — £ 2 = tf ■ — X 2 -\-\m 2 = tj 2 — X 2 — rjèi ; 



(') Elementi di statica. Parte prima, pag. 59, cap. V. Padova, 1872. Le focali di 

 Minding sono chiamate dal Turazza coniche mediane. 



