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Affermando i due teoremi che, supposto finito lo spazio rappresentato 

 dal mobile, è possibile, oppur no, l'esistenza dello spostamento elastico, e 

 del movimento del liquido, secondo che detto spazio è molteplicemente oppure 

 semplicemente connesso, in quanto che, nella prima ipotesi, possono riuscire 

 polidrome, nel caso elastico, le soluzioni delle equazioni di equilibrio, e, nel 

 caso idrodinamico, la funzione (potenziale) delle velocità, l'analogia richia- 

 mata da Volterra è patente. 



Se non che la funzione delle velocità, nel problema idrodinamico, è 

 una specie di organo accessorio, non essenziale per la rappresentazione del 

 movimento: per modo che l'ipotesi della sua polidromia non contrasta con 

 alcuna qualità intrinseca degli elementi del movimento, i quali — velocità, 

 spostamento, e via dicendo — serbano tali qualità, senza necessaria eccezione, 

 sia o no monodroma la funzione delle velocità. Invece soluzioni polidrome delle 

 equazioni dell'equilibrio elastico non si possono senz'altro adattare al concetto 

 di spostamento: e occorre ricavarne, con tagli del relativo campo, atti a ridurlo 

 semplicemente connesso, funzioni monodrome, che, in compenso, riescono, ai 

 tagli, discontinue. Precisamente quello che fa Volterra, fin dai suoi due 

 primi esempi ('). Che se la posizione dei tagli si potrà variare a piacere, 

 finché è possibile la deformazione continua, ogni particolare posizione rap- 

 presenta, nel fatto, un problema distinto. Difatti, la plurivalenza, insepa- 

 rabile dalla polidromia, non è conciliabile col concetto di spostamento, al- 

 l' infuori di luoghi singolari. Altro è, per esempio, il caso della funzione 

 delle forze di un polo magnetico, per effetto di un circuito elettrico ordi- 

 nario: la quale, rappresentando il lavoro della forza elettromagnetica appli- 

 cata al polo, relativo ad un cammino, che, dall' infinito, conduce al posto 

 considerato, e crescendo, o diminuendo, la misura di questo lavoro di una 

 quantità costante, per ogni giro completo del cammino, concatenato col reoforo, 

 in un senso o nell'altro, riesce, alla stregua dello stesso concetto fisico, una 

 funzione plurivalente, e, in uno spazio comprendente tali giri, polidroma. 



Già Weingarten, nel suggestivo suo studio, citato da Volterra ( 2 ), dopo 

 aver indicato, per via d' intuizione, la possibilità di spostamenti elastici, 

 senza forze di massa, e pressioni al contorno, appartenenti a deformazioni 

 continue, ma essi stessi discontinui a certe superficie, considera, infine, il 

 caso che, spostando la superficie di discontinuità, non muti la deformazione. 

 Questo è appunto il caso delle funzioni discontinue, che si ottengono, col 

 taglio dello spazio, dalle soluzioni polidrome trovate da Volterra. Al quale 

 compete pertanto il merito di avere, non solo dimostrato l'esistenza di spo- 

 stamenti come quelli intuiti da Weingarten, ma anche definito la loro specie, 

 riducendoli a quel caso. La ragione intima di questa stretta limitazione ya 



Loc. cit. 



( 2 ) V. questi Eendiconti, fase, del 3 febbraio 1901. 



