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Le equazioni del problema dei gruppi di movimenti rigidi in una V n 

 qualunque acquistano, come vedremo, una notevole semplicità per quelle V n , 

 le quali ammettono una ennupla principale dotata della proprietà che per 

 essa sono identicamente nulle tutte le y«,jy, che hanno almeno tre indici 

 distinti. Per queste varietà, che chiameremo regolari, gli invarianti diffe- 

 renziali di 2° ordine si riducono alle sole curvature ym,w Avvertiamo che, 

 come risulta dalla Nota più volte citata, sono varietà regolari le ipersuper- 

 ficie e più in generale tutte le V„ , per le quali i simboli di Riemann pos- 

 sono mettersi sotto la forma di minori di 2° ordine di un determinante 

 simmetrico di ordine n. 



1. Siano 



n 



y> — y_ r a rs dx r dx s 

 i 



la forma differenziale quadratica, che definisce la metrica di una V„ ed 



x(/) = yr r) — 



una trasformazione infinitesima corrispondente ad un movimento rigido nella 

 varietà stessa. Le equazioni fondamentali di Killing, assunta come forma 

 fondamentale g>, si scrivono colle notazioni del calcolo differenziale assoluto 

 come segue: 



(«) F=0. 



Si assuma una ennupla fondamentale [1] , [2] , . . . , \jf], le cui con- 

 gruenze abbiano i sistemi coordinati covarianti X hjr , e si designino con y ihh 

 i suoi coefficienti di rotazione, cioè si facciano le posizioni 



(1) ^i/rs = ^_hk y>hk ^hjr ^ft/s 5 



] 



ponendo altresì le 



n 



(2) ìr=y_iV^Hr- 



l 



Se si derivano le 



'rjt = £ p> 



Ir 



equivalenti alle (2) e si tien conto delle (1) e delle (a) si riconosce facil- 

 mente che alle (a) stesse equivalgono le 



(«.) 



