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zioni, la V n ammette un gruppo ad n parametri, pei quali risultano arbi- 

 trarii i valori iniziali delle traslazioni. 



« Assunta poi come ennupla di riferimento la ennupla principale di V„ 

 mentre le traslazioni si determinano integrando il sistema (a), le rotazioni 

 si ottengono dalle (3) in funzione delle traslazioni ». 



Dalle (a) si trae poi che: 



« Se le congruenze principali sono normali, la componente della trasla- 

 zione secondo uua determinata direzione principale varia soltanto lungo 

 questa ». 



Infine dalle (A„) segue che: 



1°. « Se una V„ ammette un gruppo Gr di movimenti rigidi, gli inva- 

 rianti principali di V n sono invarianti rispetto al gruppo ». 



2°. « Se il gruppo è transitivo, i detti invarianti principali sono 

 costanti ». 



4. Assunta come ennupla di riferimento una ennupla principale, le equa- 

 zioni del gruppo C sono identicamente soddisfatte, se la varietà V„ è rego- 

 lare ed in questo caso soltanto. Le equazioni dei gruppi A e B assumono 

 allora rispettivamente le forme 



l àòl 



( B i ) (Yij,ij — Ytm) (jjj Ym Vi + <fyt ) = 0 ; 



e sostituiscono complelamente il gruppo (y). 



Esse sono identicamente soddisfatte per le varietà a curvatura costante 

 e soltanto per esse, e si ottiene così il ben noto teorema sul gruppo dei 

 movimenti rigidi, che ad esse appartengono. . 



Le (Ai) ci dicono che : 



« Se una varietà regolare V n ammette un gruppo di movimenti ri- 

 gidi G , gli invarianti differenziali di 2° ordine di V„ sono tutti invarianti 

 rispetto a G ». 



« Se il gruppo è transitivo, tali invarianti sono costanti ». 



È facile caratterizzare geometricamente il caso in cui le (BJ determi- 

 nano le <$j h in funzione delle r\i dando per esse le espressioni (3). In tal 

 caso valgono ancora e si ottengono, come nel paragrafo precedente, le («'), 

 (/?') ed (a), e valgono quindi anche per il caso, che ora consideriamo, le 

 conclusioni che da esse abbiamo sopra ricavate. 



